Производная степенно-показательной функции

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Определение

Степенно-показательная функция -- это функция вида:

$y(x)=f(x)^{g(x)}$

Например:

$y(x)=x^{x-1}$

$y(x)=\arccos x^{2\sqrt{x} }$

Нахождение производных степенно-показательных функций

Выделяют три способа нахождения таких производных.

Способ 1

По формуле сложной функции комбинирующей производную показательной и степенной функций

$f(x)^{g(x)} =g(x)f(x)^{g(x)-1} f'(x)+f(x)^{g(x)} \cdot \ln f(x)g'(x)$

или

$f(x)^{g(x)} =f(x)^{g(x)} \cdot \ln f(x)g'(x)+g(x)f(x)^{g(x)-1} f'(x)$

Способ 2

С помощью метода логарифмического дифференцирования

$y(x)=f(x)^{g(x)}$

$\ln y(x)=\ln f(x)^{g(x)}$

$\ln y(x)=g(x)\cdot \ln f(x)$

$\left(\ln y(x)\right){{'} } =\left(g(x)\cdot \ln f(x)\right){{'} }$

$\frac{y'(x)}{y(x)} =g'(x)\cdot \ln f(x)+g(x)\cdot ln'f(x)$

$y'(x)=y(x)\left(g'(x)\cdot \ln f(x)+g(x)\cdot ln'f(x)\right)$

$y'(x)=f(x)^{g(x)} \left(g'(x)\cdot \ln f(x)+g(x)\cdot ln'f(x)\right)$

Способ 3

По свойствам логарифмов

$y(x)=f(x)^{g(x)} =e^{\ln f(x)^{g(x)} } =e^{g(x)\ln f(x)}$

$y'(x)=\left(e^{g(x)\ln f(x)} \right){{'} } =e^{g(x)\ln f(x)} \cdot \left(g(x)\ln f(x)\right){{'} }$

$y'(x)=e^{g(x)\ln f(x)} \cdot \left(g'(x)\ln f(x)+g(x)ln'f(x)\right)$

$y'(x)=f(x)^{g(x)} \cdot \left(g'(x)\ln f(x)+g(x)ln'f(x)\right)$

Пример 1

Найти производную функции

$y(x)=\left(arctgx\right)^{x+2}$

Решение.

Введем обозначения

$f(x)=arctgx$

$g(x)=x+2$

Найдем производную по формуле

$f(x)^{g(x)} =g(x)f(x)^{g(x)-1} f'(x)+f(x)^{g(x)} \cdot \ln f(x)g'(x)$

$y'(x)=(x+2)(arctgx)^{x+2-1} (arctgx)'+(arctgx)^{x+2} \cdot \ln (arctgx)(x+2)'$

$y'(x)=(x+2)(arctgx)^{x+1} \frac{1}{1+x^{2} } +(arctgx)^{x+2} \cdot \ln (arctgx)$

Упростим выражение

$y'(x)=\frac{(x+2)(arctgx)^{x+1} }{1+x^{2} } +(arctgx)^{x+2} \cdot \ln (arctgx)$

$y'(x)=(arctgx)^{x+1} \left(\frac{(x+2)}{1+x^{2} } +(arctgx)\cdot \ln (arctgx)\right)$

«Производная степенно-показательной функции» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Помощь с рефератом от нейросети

Написать ИИ

Пример 2

Найти производную функции

$y(x)=\left(\sin x\right)^{x}$

Решение.

Введем обозначения

$f(x)=\sin x$

$g(x)=x$

Найдем производную по формуле

$y'(x)=f(x)^{g(x)} \cdot \left(g'(x)\ln f(x)+g(x)ln'f(x)\right)$

$y'(x)=\left(\sin x\right)^{x} \cdot \left(x'\ln \left(\sin x\right)+xln'\left(\sin x\right)\right)$

$y'(x)=\left(\sin x\right)^{x} \cdot \left(\ln \left(\sin x\right)+x\cdot \frac{1}{\sin x} \left(\sin x\right){{'} } \right)$

Упростим

$y'(x)=\left(\sin x\right)^{x} \cdot \left(\ln \left(\sin x\right)+x\cdot \frac{\cos x}{\sin x} \right)$

$y'(x)=\left(\sin x\right)^{x} \cdot \left(\ln \left(\sin x\right)+x\cdot ctgx\right)$

Пример 3

Найти производную функции

$y(x)=\left(\arccos x\right)^{3x}$

Решение.

Введем обозначения

$f(x)=\arccos x$

$g(x)=2x$

Найдем производную по формуле

$y'(x)=f(x)^{g(x)} \cdot \left(g'(x)\ln f(x)+g(x)ln'f(x)\right)$

$y'(x)=\left(\arccos x\right)^{3x} \cdot \left(3x'\cdot \ln \left(\arccos x\right)+3xln'\left(\arccos x\right)\right)$

$y'(x)=\left(\arccos x\right)^{3x} \cdot \left(3\cdot \ln \left(\arccos x\right)+3x\cdot \frac{1}{\arccos x} \left(\arccos x\right){{'} } \right)$

$y'(x)=\left(\arccos x\right)^{3x} \cdot \left(3\cdot \ln \left(\arccos x\right)-3x\cdot \frac{1}{\arccos x} \cdot \frac{1}{1-x^{2} } \right)$

Упростим

$y'(x)=3\left(\arccos x\right)^{3x} \cdot \left(\ln \left(\arccos x\right)-\frac{x}{\left(1-x^{2} \right)\arccos x} \right)$

Дата последнего обновления статьи: 11.12.2024

Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot