Общие сведения
Функция е в степени х — это особый случай показательной функции, где в качестве основания выступает число е, иначе называемое числом Эйлера. Иначе такая функция называется экспоненциальной или экспонентой, записываться она может в нескольких формах: $e^x$=exp(x).
При этом первообразная от такой функции равна тому же самому значению, что и функция. то есть $e^x$.
Понять это можно, найдя табличное значение для этой функции среди производных.
Для функции $y=e^x + c$ производная равна $y’=(e^x + c)’=e^x$.
При рассмотрении интеграла приведённым табличным значением необходимо воспользоваться наоборот, не забыв при этом про необходимость добавления некоторой константы $c$:
Статья: Интеграл от е в степени х
$\int e^x = e^x + c\left(1\right)$.
Из формулы $(1)$ для вычисления неопределённого интеграла от экспоненты видно, что также как и для всех остальных неопределённых интегралов, функция $e^x$ имеет бесконечное множество первообразных, отличающихся между собой константой $c$.
Если же для некоторой функции необходимо найти определённый интеграл, то результат интегрирования будет только один и для функции $e^x$ он будет записываться через формулу Ньютона-Лейбница:
$\int\limits_a^b e^x = e^b - e^a$
Переход от производной $e^x$ к интегралу от $e^x$
Для более полного понимания полезно будет вспомнить, как выводится формула для производной от функции е в степени x.
Для этого осуществим стандартный вывод формулы производной.
Для начала рассмотрим приращение степенной функции:
$\frac{Δy}{Δx}=\frac{a^{x+ Δx} – a^x}{Δx}=a^x \cdot \frac{a^{Δx}-1}{Δx}$.
Теперь рассмотрим предел получившегося выражения при $Δx \to 0$:
$y’(x)=lim_ {Δx \to 0}=a^x \cdot \ln a$
Если $y=e^x$, то предыдущее выражение превращается в $y’(x)=e^x$.
Найдите первообразные сложных функций от икс:
$e^{2x-5}$ 2)
$e^{\frac{2x}{3}+1}$.
Решение:
$\int e^{2x-5}=\frac12 e^{2x-5} + c$;
$\int e^{\frac{2x}{3}+1} = \frac32 \cdot e^{\frac{2x}{3}+1} + c$
