Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Интеграл от е в степени х

Все предметы / Математика / Интеграл от е в степени х
Содержание статьи

Общие сведения

Определение 1

Функция е в степени х — это особый случай показательной функции, где в качестве основания выступает число е, иначе называемое числом Эйлера. Иначе такая функция называется экспоненциальной или экспонентой, записываться она может в нескольких формах: $e^x$=exp(x).

При этом первообразная от такой функции равна тому же самому значению, что и функция. то есть $e^x$.

Понять это можно, найдя табличное значение для этой функции среди производных.

Для функции $y=e^x + c$ производная равна $y’=(e^x + c)’=e^x$.

При рассмотрении интеграла приведённым табличным значением необходимо воспользоваться наоборот, не забыв при этом про необходимость добавления некоторой константы $c$:

$\int e^x = e^x + c\left(1\right)$.

Из формулы $(1)$ для вычисления неопределённого интеграла от экспоненты видно, что также как и для всех остальных неопределённых интегралов, функция $e^x$ имеет бесконечное множество первообразных, отличающихся между собой константой $c$.

Если же для некоторой функции необходимо найти определённый интеграл, то результат интегрирования будет только один и для функции $e^x$ он будет записываться через формулу Ньютона-Лейбница:

$\int\limits_a^b e^x = e^b - e^a$

Переход от производной $e^x$ к интегралу от $e^x$

Для более полного понимания полезно будет вспомнить, как выводится формула для производной от функции е в степени x.

Для этого осуществим стандартный вывод формулы производной.

Для начала рассмотрим приращение степенной функции:

$\frac{Δy}{Δx}=\frac{a^{x+ Δx} – a^x}{Δx}=a^x \cdot \frac{a^{Δx}-1}{Δx}$.

Теперь рассмотрим предел получившегося выражения при $Δx \to 0$:

$y’(x)=lim_ {Δx \to 0}=a^x \cdot \ln a$

Если $y=e^x$, то предыдущее выражение превращается в $y’(x)=e^x$.

Пример 1

Найдите первообразные сложных функций от икс:

  1. $e^{2x-5}$ 2)

  2. $e^{\frac{2x}{3}+1}$.

Решение:

  1. $\int e^{2x-5}=\frac12 e^{2x-5} + c$;

  2. $\int e^{\frac{2x}{3}+1} = \frac32 \cdot e^{\frac{2x}{3}+1} + c$

Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи

Автор статьи

Щебетун Виктор

Эксперт по предмету «Математика»

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис