Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Транспонированная матрица

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис
Все предметы / Математика / Матрицы / Транспонированная матрица
Транспонированная матрица

Кроме сложения, вычитания и умножения матриц существует еще операция над матрицами, которая называется транспонированием матрицы. Полученная в результате данной операции матрица называется транспонированной и обозначается $A^{T} $.

Определение 1

Транспонированная матрица -- это матрица, которая получается из исходной матрицы А путем перестановки строк и столбцов.

Исходя из определения можно записать следующее: пусть дана матрица $A=\left(a_{ij} \right)_{m\times n} $, тогда транспонированная матрица будет иметь вид $A^{T} =\left(a_{ji} \right)_{n\times m} $.

Другими словами, чтобы получить транспонированную матрицу, необходимо взять каждую строчку по очереди и переписать ее в виде столбца, не меняя порядка следования.

Пример 1

Дана матрица $A=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {2} & {3} \\ {4} & {5} & {6} \\ {7} & {8} & {9} \end{array}\right)$. Составить матрицу $A^{T} $.

Решение:

\[A^{T} =\left(\begin{array}{ccc} {1} & {2} & {3} \\ {4} & {5} & {6} \\ {7} & {8} & {9} \end{array}\right)^{T} =\left(\begin{array}{ccc} {1} & {4} & {7} \\ {2} & {5} & {8} \\ {3} & {6} & {9} \end{array}\right)\]

Транспонированная матрица обладает следующими свойствами:

  • $(A^{T} )^{T} =A$;
  • $(A+B)^{T} =A^{T} +B^{T} $;
  • $(A\cdot B)^{T} =B^{T} \cdot A^{T} $;
  • $(k\cdot A)^{T} =k\cdot A^{T} $;
  • $\det A=\det A^{T} $
Пример 2

Даны матрицы $A=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {2} & {3} \\ {4} & {5} & {6} \\ {7} & {8} & {9} \end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {2} & {1} \\ {0} & {2} & {1} \\ {3} & {2} & {4} \end{array}\right)$ и число $k=4$.

Продемонстрируем на примерах некоторые свойства операции транспонирования.

Решение:

1) \[A^{T} =\left(\begin{array}{ccc} {1} & {2} & {3} \\ {4} & {5} & {6} \\ {7} & {8} & {9} \end{array}\right)^{T} =\left(\begin{array}{ccc} {1} & {4} & {7} \\ {2} & {5} & {8} \\ {3} & {6} & {9} \end{array}\right); \] \[(A^{T} )^{T} =\left(\begin{array}{ccc} {1} & {4} & {7} \\ {2} & {5} & {8} \\ {3} & {6} & {9} \end{array}\right)^{T} =\left(\begin{array}{ccc} {1} & {2} & {3} \\ {4} & {5} & {6} \\ {7} & {8} & {9} \end{array}\right)=A.\] 2) \[A+B=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {2} & {3} \\ {4} & {5} & {6} \\ {7} & {8} & {9} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc} {1} & {2} & {1} \\ {0} & {2} & {1} \\ {3} & {2} & {4} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} {2} & {4} & {4} \\ {4} & {7} & {7} \\ {10} & {10} & {13} \end{array}\right)\] \[(A+B)^{T} =\left(\begin{array}{ccc} {2} & {4} & {4} \\ {4} & {7} & {7} \\ {10} & {10} & {13} \end{array}\right)^{T} =\left(\begin{array}{ccc} {2} & {4} & {10} \\ {4} & {7} & {10} \\ {4} & {7} & {13} \end{array}\right); \] \[B^{T} =\left(\begin{array}{ccc} {1} & {2} & {1} \\ {0} & {2} & {1} \\ {3} & {2} & {4} \end{array}\right)^{T} =\left(\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {3} \\ {2} & {2} & {2} \\ {1} & {1} & {4} \end{array}\right)\] \[A^{T} +B^{T} =\left(\begin{array}{ccc} {1} & {4} & {7} \\ {2} & {5} & {8} \\ {3} & {6} & {9} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {3} \\ {2} & {2} & {2} \\ {1} & {1} & {4} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} {2} & {4} & {10} \\ {4} & {7} & {10} \\ {4} & {7} & {13} \end{array}\right)=(A+B)^{T} \] 3) \[k\cdot A=4\cdot \left(\begin{array}{ccc} {1} & {2} & {3} \\ {4} & {5} & {6} \\ {7} & {8} & {9} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} {4} & {8} & {12} \\ {16} & {20} & {24} \\ {28} & {32} & {36} \end{array}\right)\] \[(k\cdot A)^{T} =\left(\begin{array}{ccc} {4} & {8} & {12} \\ {16} & {20} & {24} \\ {28} & {32} & {36} \end{array}\right)^{T} =\left(\begin{array}{ccc} {4} & {16} & {28} \\ {8} & {20} & {32} \\ {12} & {24} & {36} \end{array}\right)=4\cdot \left(\begin{array}{ccc} {1} & {4} & {7} \\ {2} & {5} & {8} \\ {3} & {6} & {9} \end{array}\right)=k\cdot A^{T} \]

С понятием транспонированная матрица тесно связаны понятия симметрической матрицы и антисимметрической матрицы.

Определение 2

Симметрическая матрица -- это матрица, которая удовлетворяет соотношению $A^{T} =A$.

Чтобы матрица А являлась симметрической, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

  • матрица А -- квадратная матрица;
  • равенство симметричных относительно главной диагонали элементов, т.е. $A_{ij} =A_{ji} $.
Пример 3

$A=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {2} \\ {0} & {-4} & {3} \\ {2} & {3} & {-1} \end{array}\right)$ - симметрическая матрица, так как $A^{T} =\left(\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {2} \\ {0} & {-4} & {3} \\ {2} & {3} & {-1} \end{array}\right)$.

Определение 3

Антисимметрическая матрица -- это матрица, которая удовлетворяет соотношению $A^{T} =-A$.

Чтобы матрица А являлась антисимметрической, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

  • матрица А -- квадратная матрица;
  • равенство по модулю и различность по знаку симметричных относительно главной диагонали элементов, т.е. $A_{ij} =A_{ji} $.
Замечание

Элементы, расположенные на главной диагонали антисимметрической матрицы, равны нулю.

Пример 4

$A=\left(\begin{array}{ccc} {0} & {1} & {-2} \\ {-1} & {0} & {5} \\ {2} & {-5} & {0} \end{array}\right)$ - антисимметрическая матрица