Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Точки разрыва функции

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис
Все предметы / Математика / Предел / Точки разрыва функции
Точки разрыва функции
Определение

Точкой разрыва функции называется такая точка а, в которой функция не является непрерывной.

На рисунке 1 изображена непрерывная функция, а на рисунке 2 -- функция, имеющая разрыв в точке а.

Непрерывная функция

Рисунок 1. Непрерывная функция

Точка разрыва функции

Рисунок 2. Точка разрыва функции

Таким образом, условие непрерывности не должно выполняться:

\[\mathop{\lim }\limits_{x\to a} f(x)\ne f(a)\]

Данное условие справедливо для устранимой точки разрыва

Пример 1

Определить точку разрыва функции

\[f(x)=\frac{\sin x}{x} \]

Решение:

  1. Найдем область определения данной функции:
  2. \[D(f)=\left(-\infty ;0\right)\cup (0;+\infty )\]
  3. Из области определения видно, что в точке х = 0 функция не определена
  4. \[f(x)=\frac{\sin x}{x} =1\ne f(0)=\frac{\sin x}{x} \]

Вывод: Функция имеет устранимую точку разрыва x = 0

Что такое неустранимая точка разрыва первого рода

Определение

Точка а = х называется неустранимой точкой разрыва первого рода (рис.3), если выполняется условие:

\[\mathop{\lim }\limits_{x\to a-0} f(x)\ne \mathop{\lim }\limits_{x\to a+0} f(x)\ne f(a)\]

Точка разрыва первого рода

Рисунок 3.Точка разрыва первого рода

Пример 2

Определить разрыв функции

\[f(x)=\left\{\begin{array}{cc} {x,} & {x\le 1} \\ {\ln x,} & {x>1} \end{array}\right. \]

Решение:

\[\mathop{\lim }\limits_{x\to 1+0} f(x)=\mathop{\lim }\limits_{x\to 1+0} \ln x=0\] \[\mathop{\lim }\limits_{x\to 1-0} f(x)=\mathop{\lim }\limits_{x\to 1} x=1\] \[\mathop{\lim }\limits_{x\to 1-0} f(x)\ne \mathop{\lim }\limits_{x\to 1+0} f(x)\]

Вывод: В точке 1 функция имеет разрыв первого рода.

Что такое неустранимая точка разрыва второго рода

Определение

Точка а = х называется неустранимой точкой разрыва второго рода (рис.4), если хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.

Точка разрыва второго рода

Рисунок 4.Точка разрыва второго рода

Пример 3

Определить вид точки разрыва

\[f(x)=tgx\]

Решение:

\[\mathop{\lim }\limits_{x\to \frac{\pi }{2} +\pi k+0} tgx=-\infty \] \[\mathop{\lim }\limits_{x\to \frac{\pi }{2} +\pi k-0} tgx=+\infty \]

Вывод: Точка $\frac{\pi }{2} +\pi k$ - точка разрыва второго рода