Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Функции y=|x|, y=[x],y={x}, y=sign(x) и их графики. Функция f(x)=|x|

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис
Все предметы / Математика / Функции и способы задания функций / Функции y=|x|, y=[x],y={x}, y=sign(x) и их графики. Функция f(x)=|x|
Функции y=|x|, y=[x],y={x}, y=sign(x) и их графики. Функция f(x)=|x|

Функция $f(x)=|x|$

$|x|$ - модуль. Он определяется следующим образом: Если действительное число будет неотрицательным, то значение модуля совпадает с самим числом. Если же отрицательно, то значение модуля совпадает с абсолютным значением данного числа.

Математически это можно записать следующим образом:

Пример 1

Исследуем и построим её график.

  1. $D\left(f\right)=R$.
  2. По определению модуля действительного числа, получим, что$E\left(f\right)=[0,\infty )$
  3. $f\left(-x\right)=|-x|=|x|=f(x)$. Значит, функция четна.
  4. При $x=0,\ y=0$. Точка $\left(0,0\right)$ -- единственное пересечение с координатными осями.
  5. \[f'\left(x\right)=\left\{ \begin{array}{c} {1,x >0,} \\ {-1,xФункция будет возрастать на промежутке $x\in (0,+\infty )$

    Функция будет убывать на промежутке $x\in (-\infty ,0)$

  6. Значения на концах области определения.

    \[{\mathop{\lim }_{x\to -\infty } y\ }=+\infty \] \[{\mathop{\lim }_{x\to +\infty } y\ }=+\infty \]



    Рисунок 1.

Функция $f(x)=[x]$

Функция $f\left(x\right)=[x]$ - функция целой части числа. Она находится округлением числа (если оно само не целое) «в меньшую сторону».

Пример: $[2,6]=2.$

Пример 2

Исследуем и построим её график.

  1. $D\left(f\right)=R$.
  2. Очевидно, что эта функция принимает только целые значения, то есть $\ E\left(f\right)=Z$
  3. $f\left(-x\right)=[-x]$. Следовательно, эта функция будет общего вида.
  4. $(0,0)$ -- единственная точка пересечения с осями координат.
  5. $f'\left(x\right)=0$
  6. Функция имеет точки разрыва (скачка функции) при всех $x\in Z$.



Рисунок 2.

Функция $f\left(x\right)=\{x\}$

Функция $f\left(x\right)=\{x\}$ -- функция дробной части числа. Она находится «отбрасыванием» целой части этого числа.

$\{2,6\}=0,6$

Пример 3

Исследуем и построим график функции

  1. $D\left(f\right)=R$.

  2. Очевидно, что эта функция никогда не будет отрицательной и никогда не будет больше единицы, то есть $\ E\left(f\right)=[0,1)$

  3. $f\left(-x\right)=\{-x\}$. Следовательно, данная функция будет общего вида.

    Пересечение с осью $Ox$: $\left(z,0\right),\ z\in Z$

    Пересечение с осью $Oy$: $\left(0,0\right)$

  4. $f'\left(x\right)=0$

  5. Функция имеет точки разрыва (скачка функции) при всех $x\in Z$



    Рисунок 3.

Функция $f(x)=sign(x)$

Функция $f\left(x\right)=sign(x)$ -- сигнум-функция. Эта функция показывает, какой знак имеет действительное число. Если число отрицательно, то функция имеет значение $-1$. Если число положительно, то функция равняется единице. При нулевом значении числа, значение функции также будет принимать нулевое значение.

Математически это можно записать следующим образом:

Пример 4

Исследуем и построим график функции

  1. $D\left(f\right)=R$.
  2. Непосредственно из определения, получим
  3. \[\ E\left(f\right)=\left\{-1\right\}\cup \left\{0\right\}\cup \{1\}\]
  4. $f\left(-x\right)=sign\left(-x\right)=-sign(x)$. Следовательно, данная функция будет нечетной.

    Пересечение с осью $Ox$: $\left(0,0\right)$

    Пересечение с осью $Oy$: $\left(0,0\right)$

  5. $f'\left(x\right)=0$

  6. Функция имеет точку разрыва (скачка функции) в начале координат.



    Рисунок 4.