Напомним для начала определение решения системы уравнений с двумя переменными.
Пара чисел называется решением системы уравнений с двумя переменными, если при их подстановки в уравнение получается верное равенство.
В дальнейшем будем рассматривать системы из двух уравнений с двумя переменными.
Существуют четыре основных способа решения систем уравнений: способ подстановки, способ сложения, графический способ, способ ведения новых переменных. Рассмотрим эти способы на конкретных примерах. Для описания принципа использования первых трех способов будем рассматривать систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
Способ подстановки
Способ подстановки заключается в следующем: берется любое из данных уравнений и выражается y через x, затем y подставляется в уравнение системы, откуда и находится переменная x. После этого мы легко можем вычислить переменную y.
Выразим из второго уравнения y через x:
y=3x+9Подставим в первое уравнение, найдем x:
2x+9x+27=5Найдем y:
y=−6+9=3Ответ: (−2, 3)
Способ сложения.
Рассмотрим данный способ на примере:
Умножим второе уравнение на 3, получим:
{2x+3y=59x−3y=−27Теперь сложим оба уравнения между собой:
2x+3y+9x−3y=5−27Найдем y из второго уравнения:
−6−y=−9Ответ: (−2, 3)
!!! Отметим, что в данном способе необходимо умножать одно или оба уравнения на такие числа, чтобы при сложении одна из переменных «исчезла».
Графический способ
Графический способ заключается в следующем: оба уравнения системы изображается на координатной плоскости и находится точка их пересечения.
Выразим из обоих уравнений y через x:
{y=5−2x3y=3x+9Изобразим оба графика на одной плоскости:
Рисунок 1.
Ответ: (−2, 3)
Способ введения новых переменных
Этот способ рассмотрим на следующем примере:
Решение.
Данная система равносильна системе
{2⋅2x−3y=−13y−2x=2Пусть 2x=u (u>0), а 3y=v (v>0), получим:
{2u−v=−1v−u=2Решим полученную систему методом сложения. Сложим уравнения:
2u−v+v−u=−1+2Тогда из второго уравнения, получим, что
v=2+u=3Возвращаясь к замене, получим новую систему показательных уравнений:
{2x=13y=3Получаем:
{x=0y=1Ответ: (0,1).
