Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Системы показательных уравнений и неравенств

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Все предметы / Математика / Показательная функция / Системы показательных уравнений и неравенств

Способы решения систем уравнений

Для начала кратко вспомним, какие вообще существуют способы решения систем уравнений.

Существуют четыре основных способа решения систем уравнений:

  1. Способ подстановки: берется любое из данных уравнений и выражается $y$ через $x$, затем $y$ подставляется в уравнение системы, откуда и находится переменная $x.$ После этого мы легко можем вычислить переменную $y.$

  2. Способ сложения: в данном способе необходимо умножать одно или оба уравнения на такие числа, чтобы при сложении вместе обоих одна из переменных «исчезла».

  3. Графический способ: оба уравнения системы изображается на координатной плоскости и находится точка их пересечения.

  4. Способ введения новых переменных: в этом способе мы делаем замену каких-либо выражений для упрощения системы, а потом применяем один из выше указанных способов.

Системы показательных уравнений

Определение 1

Системы уравнений, состоящие из показательных уравнений, называются системой показательных уравнений.

Решение систем показательных уравнений будем рассматривать на примерах.

Пример 1

Решить систему уравнений



Рисунок 1.

Решение.

Будем пользоваться первым способом для решения данной системы. Для начала выразим в первом уравнении $y$ через $x$.



Рисунок 2.

Подставим $y$ во второе уравнение:

\[3^{x-2-2x}=9\] \[3^{-2-x}=3^2\] \[-2-x=2\] \[x=-4\] \[y=-2+8=6\]

Ответ: $(-4,6)$.

Пример 2

Решить систему уравнений



Рисунок 3.

Решение.

Данная система равносильна системе



Рисунок 4.

Применим четвертый метод решения уравнений. Пусть $2^x=u\ (u >0)$, а $3^y=v\ (v >0)$, получим:



Рисунок 5.

Решим полученную систему методом сложения. Сложим уравнения:

\[2u-v+v-u=-1+2\] \[u=1\]

Тогда из второго уравнения, получим, что

\[v=2+u=3\]

Возвращаясь к замене, получил новую систему показательных уравнений:



Рисунок 6.

Получаем:



Рисунок 7.

Ответ: $(0,1)$.

Системы показательных неравенств

Определение 2

Cистемы неравенств, состоящие из показательных уравнений, называются системой показательных неравенств.

Решение систем показательных неравенств будем рассматривать на примерах.

Пример 3

Решить систему неравенств



Рисунок 8.

Решение:

Данная система неравенств равносильна системе



Рисунок 9.

Для решения первого неравенства вспомним следующую теорему равносильности показательных неравенств:

Теорема 1. Неравенство $a^{f(x)} >a^{\varphi (x)} $, где $a >0,a\ne 1$ равносильна совокупности двух систем

\[a^{f(x)} >a^{\varphi (x)} \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {\left\{\begin{array}{l} {a >1,} \\ {f(x) >\varphi (x);} \end{array}\right. } \\ {\left\{\begin{array}{l} {0Так как в нашем примере $a >1$, то наша система неравенств, по теореме 1, равносильна системе



Рисунок 10.

Изобразим оба решения на числовой прямой (рис. 11)

Решение примера 3 на числовой прямой

Рисунок 11. Решение примера 3 на числовой прямой

Ответ: $(3,+\infty )$

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис