Логарифмическая функция, ее свойства и график

Понятие логарифмической функции

Для начала вспомним, что же вообще такое логарифм.

Рассмотрим показательную функцию $f\left(x\right)=a^x$, где $a >1$. Эта функция возрастает, непрерывна и отображает действительную ось на интервал $(0,+\infty )$. Тогда, по теореме о существовании обратной непрерывной функции, у нее в множестве $Y=(0,+\infty )$ существует обратная функция $x=f^{-1}(y)$, которая также непрерывна и возрастает в $Y$ и отображает интервал $(0,+\infty )$ на всю действительную ось. Эту обратную функцию называют логарифмической функцией по основанию $a\ (a >1)$ и обозначается $y={{log}_a x\ }$.

Теперь рассмотрим показательную функцию $f\left(x\right)=a^x$, где $0

Таким образом, мы определили логарифмическую функцию при всех возможных значениях основания $a$. Рассмотрим далее два этих случая отдельно.

Функция $y={{log}_a x\ },\ a >1$

Рассмотрим свойства данной функции.

1. Область определения -- интервал $(0,+\infty )$;

2. Область значения -- все действительные числа;

3. Функция не является ни четной, ни нечетной.

4. Точки пересечения с осями координат:

   С осью $Oy$ пересечений нет.

   При $y=0$, ${{log}_a x\ }=0,\ x=1.$ Пересечение с осью $Ox$: (1,0).

5. Функция положительна, при $x\in (1,+\infty )$ и отрицательна, при $x\in (0,1)$

6. $y'=\frac{1}{xlna}$;

7. Точки минимума и максимума:

   $$\frac{1}{xlna}=0-корней\ нет$$

   Точек максимума и минимума нет.

8. Функция возрастает на всей области определения;

9. $y^{''}=-\frac{1}{x^2lna}$;

10. Промежутки выпуклости и вогнутости:

    \[-\frac{1}{x^2lna}Функция выпукла на всей области определения;

11. ${\mathop{lim}_{x\to 0} y\ }=-\infty ,\ {\mathop{lim}_{x\to +\infty } y\ }=+\infty ,\ $;

12. График функции (Рис. 1).

Рисунок 1. График функции $y={{log}_a x\ },\ a >1$

Функция $y={{log}_a x\ }, \ 0

Рассмотрим свойства данной функции.

1. Область определения -- интервал $(0,+\infty )$;

2. Область значения -- все действительные числа;

3. Функция не является ни четной, ни нечетной.

4. Точки пересечения с осями координат:

   С осью $Oy$ пересечений нет.

   При $y=0$, ${{log}_a x\ }=0,\ x=1.$ Пересечение с осью $Ox$: (1,0).

5. Функция положительна, при $x\in (0,1)$ и отрицательна, при $x\in (1,+\infty )$

6. $y'=\frac{1}{xlna}$;

7. Точки минимума и максимума:

   $$\frac{1}{xlna}=0-корней\ нет$$

   Точек максимума и минимума нет.

8. Функция убывает на всей области определения;

9. $y^{''}=-\frac{1}{x^2lna}$;

10. Промежутки выпуклости и вогнутости:

    $$-\frac{1}{x^2lna}>0$$

    Функция вогнута на всей области определения;

11. ${\mathop{lim}_{x\to 0} y\ }=+\infty ,\ {\mathop{lim}_{x\to +\infty } y\ }=-\infty ,\ $;

12. График функции (Рис. 2).

Примеры исследования и построения логарифмических функций