Понятие перпендикулярных плоскостей
При пересечении двух плоскостей у нас получается двугранных угла. Два угла равны , а два другие равны .
Углом между плоскостями называется минимальный из двугранных углов, образованных этими плоскостями.
Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если угол между этими плоскостями равен (рис. 1).
Рисунок 1. Перпендикулярные плоскости
Признак перпендикулярности двух плоскостей
Если прямая плоскости перпендикулярна другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны друг другу.
Доказательство.
Пусть нам даны плоскости и , которые пересекаются по прямой . Пусть прямая , лежащая в плоскости перпендикулярна плоскости (рис. 2).
Рисунок 2.
Так как прямая перпендикулярна плоскости , то она перпендикулярна и прямой . Проведем дополнительно прямую в плоскости , перпендикулярно прямой .
Получаем, что угол - линейный угол двугранного угла, равный . То есть, по определению 1, угол между плоскостями равен , значит, данные плоскости перпендикулярны.
Теорема доказана.
Из этой теоремы следует следующая теорема.
Если плоскость перпендикулярна прямой, по которой пересекаются две другие плоскости, то она перпендикулярна и этим плоскостям.
Доказательство.
Пусть нам даны две плоскости и , пересекающиеся по прямой . Плоскость перпендикулярна прямой (рис. 3)
Рисунок 3.
Так как прямая принадлежит плоскости и плоскость перпендикулярна прямой , то, по теореме 1, плоскости и перпендикулярны.
Так как прямая принадлежит плоскости и плоскость перпендикулярна прямой , то, по теореме 1, плоскости и перпендикулярны.
Теорема доказана.
Для каждой из этих теорем справедливы и обратные утверждения.
Примеры задач
Пусть нам дан прямоугольный параллелепипед . Найти все пары перпендикулярных плоскостей (рис. 5).
Рисунок 4.
Решение.
По определению прямоугольного параллелепипеда и перпендикулярных плоскостей видим следующие восемь пар перпендикулярных между собой плоскостей: и , и , и , и , и , и , и , и .
Пусть нам даны две взаимно перпендикулярные плоскости. Из точки одной плоскости проведен перпендикуляр к другой плоскости. Доказать, что эта прямая лежит в данной плоскости.
Доказательство.
Пусть нам даны перпендикулярные плоскости и , пересекающиеся по прямой . Из точки плоскости проведен перпендикуляр к плоскости . Предположим, что не лежит в плоскости (рис. 6).
Рисунок 5.
Рассмотрим треугольник . Он является прямоугольным с прямым углом . Следовательно, .
Но, с другой стороны, является линейным углом двугранного угла, образованного этими плоскостями. То есть двугранный угол, образованный этими плоскостями не равняется 90 градусам. Получаем, что угол между плоскостями не равен . Противоречие. Следовательно, лежит в плоскости .
ч. т. д.