Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Перпендикулярные прямые

Предварительные сведения о прямых

Понятие прямой, также как и понятие точки является основными понятиями геометрии. Как известно основные понятия не определяется. Это не является и исключением для понятия прямой. Поэтому рассмотрим суть этого понятия через его построение.

Возьмем линейку и, не отрывая карандаша, проведем линию произвольной длины. Полученную линию мы и будем называть прямой. Однако тут необходимо отметить, что это не вся прямая, а только её часть. Сама же прямая является бесконечной на обоих своих концах.

Прямые будем обозначать маленькой латинской буквой, либо двумя её точками в круглых скобках (рис. 1).

Прямая (AB)

Понятия прямой и точки связаны тремя аксиомами геометрии:

Аксиома 1: Для каждой произвольной прямой существует как минимум две точки, которые на ней лежат.

Аксиома 2: Можно найти как минимум три точки, которые не будут лежать на одной и той же прямой.

Аксиома 3: Через 2 произвольные точки всегда проходит прямая, причем эта прямая единственна.

Для двух прямых актуально их взаимное расположение. Возможны три случая:

  1. Две прямые совпадают. В этом случае каждая точка одной будет также и точкой другой прямой.
  2. Две прямые пересекаются. В этом случае только какая-то одна точка из одной прямой будет также принадлежать и другой прямой.
  3. Две прямые параллельны. В этом случае у каждой из этих прямых свой набор различных друг от друга точек.

Перпендикулярность прямых

Рассмотрим две произвольные пересекающиеся прямые. Очевидно, что в точке их пересечения образовывается 4 угла. Тогда

Определение 1

Пересекающиеся прямые будем называть перпендикулярными, если хотя бы один угол, образованный их пересечением равняется $90^0$ (рис. 2).

Готовые работы на аналогичную тему

Обозначение: $a⊥b$.

Рассмотрим следующую задачу:

Пример 1

Найти углы 1, 2 и 3 из рисунка ниже

Решение.

Угол 2 является вертикальным для данного нам угла, следовательно

$∠2=90^0$

Угол 1 является смежным для угла 2, следовательно

$∠1=180^0-∠2=180^0-90^0=90^0$

Угол 3 является вертикальным для угла 1, следовательно

$∠3=∠1=90^0$

Из этой задачи можем сделать следующее замечание

Замечание 1

Все углы между перпендикулярными прямыми равняются $90^0$.

Основная теорема перпендикулярных прямых

Введем следующую теорему:

Теорема 1

Две прямые, являющиеся перпендикулярными для третьей будут непересекающимися.

Доказательство.

Рассмотрим рисунок 3 по условию задачи.

Разделим мысленно данный рисунок на две части прямой $(ZP)$. Наложим правую часть на левую. Тогда, так как прямые $(NM)$ и $(XY)$ перпендикулярны к прямой $(PZ)$ и, следовательно, углы между ними прямые, то луч $NP$ наложется целиком на луч $PM$, а луч $XZ$ наложется целиком на луч $YZ$.

Теперь, предположим противное: пусть эти прямые пересекаются. Без ограничения общности предположим, что они пересекаются с левой стороны, то есть, пусть луч $NP$ пересекается с лучом $YZ$ в точке $O$. Тогда, по конструкции, описанной выше, будем получать, что и луч $PM$ пересекается с лучом $YZ$ в точке $O'$. Но тогда мы получаем, что через две точки $O$ и $O'$, проходит две прямые $(NM)$ и $(XY)$, что противоречит аксиоме 3 прямых.

Следовательно, прямые $(NM)$ и $(XY)$ не пересекаются.

Теорема доказана.

Пример задачи

Пример 2

Даны две прямые, которые имеют точку пересечения. Через точку, которая не принадлежит ни одной из них проведены две прямые, одна из которых перпендикулярна одной из выше описанных прямых, а другая - другой из них. Доказать, что они не совпадают.

Решение.

Изобразим рисунок по условию задачи (рис. 4).

Из условия задачи будем иметь, что $m⊥k,n⊥l$.

Предположим противное, пусть прямые $k$ и $l$ совпадают. Пусть это будет прямой $l$. Тогда, по условию $m⊥l$ и $n⊥l$. Следовательно, по теореме 1, прямые $m$ и $n$ не пересекаются. Получили противоречие, а значит прямые $k$ и $l$ не совпадают.

Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи

Автор статьи

Эксперт по предмету «Математика»

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис