Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Начальные геометрические сведения

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Все предметы / Математика / Начальные геометрические сведения

В этой статье мы приведем начальные сведение об основных понятиях геометрии, а именно о прямой, луче, отрезке и угле.

Прямая

Возьмем линейку и, не отрывая карандаша, проведем линию произвольной длины. Полученную линию мы и будем называть прямой. Однако тут необходимо отметить, что это не вся прямая, а только её часть. Всю же прямую построить не имеется возможным, она является бесконечной на обоих своих концах.

Прямые будем обозначать маленькой латинской буквой, либо двумя её точками в круглых скобках (рис. 1).

Помощь со студенческой работой на тему
Начальные геометрические сведения

Для двух прямых актуально их взаимное расположение. Возможны три случая:

  1. Две прямые совпадают. В этом случае каждая точка одной будет также и точкой другой прямой.
  2. Две прямые пересекаются. В этом случае только какая-то одна точка из одной прямой будет также принадлежать и другой прямой.
  3. Две прямые параллельны. В этом случае у каждой из этих прямых свой набор различных друг от друга точек.

В рамках второго случая отдельно выделяются перпендикулярные прямые.

Рассмотрим две произвольные пересекающиеся прямые. Очевидно, что в точке их пересечения образовывается $4$ угла. Тогда

Определение 1

Пересекающиеся прямые будем называть перпендикулярными, если хотя бы один угол, образованный их пересечением равняется $90^0$ (рис. 2).

Обозначение: $a⊥b$

Перпендикулярные прямые связаны со следующей теоремой

Теорема 1

Две прямые, являющиеся перпендикулярными для третьей будут непересекающимися.

Луч

Возьмем произвольную прямую и выберем на ней произвольную точку. Такая точка будет разделять эту прямую две части. Тогда:

Определение 2

Лучем будет называться часть прямой, которая ограничена какой-либо точкой на этой прямой, но только с одной стороны.

Определение 3

Точка, которой ограничен луч в рамках определения 1, называется началом этого луча.

Луч будем обозначать двумя точками: началом его и другой любой произвольной точки на нем. Отметим, что здесь, в обозначении, важен порядок обозначения этих точек. На первом месте всегда ставим именно начало луча (рис.3)

Луч BA

Отрезок

Пусть нам дана произвольная прямая и две точки, принадлежащие ей. Тогда:

Определение 4

Отрезком будет называться часть прямой, которая ограничена двумя ее произвольными различными точками.

Определение 5

Точки, которыми ограничен отрезок в рамках определения 1, называются концами этого отрезка.

Отрезки будем обозначать двумя её точками концов в квадратных скобках (рис. 4).

Отрезок [AB]

Для отрезков важно такое понятие, как их измерение. Измерить отрезок означает найти его длину. Для этого необходимо выбрать какой-то «эталонный» отрезок, который мы будем принимать за единицу ( к примеру отрезок, длина которого равняется $1$ сантиметру). После выбора такого отрезка мы проводим с ним сравнение отрезков, длину которого нужно найти.

Самым простым способом измерения длины отрезков является измерение, с помощью линейки.

Угол

Пусть нам даны два произвольных луча. Наложим их начала друг на друга. Тогда:

Определение 6

Углом будем называть два луча, которые имеют одно и тоже начало.

Определение 7

Точка, которая является началом лучей в рамках определения 3, называется вершиной этого угла.

Угол будем обозначать следующими тремя её точками: вершиной, точкой на одном из лучей и точкой на другом луче, причем вершина угла записывается в середине его обозначения (рис. 5).

Угол BOC

На практике часто необходимо измерение углов. Измерить угол означает найти его величину. Для этого необходимо выбрать какой-то «эталонный» угол, который мы будем принимать за единицу. Чаще всего таким углом является угол, который равен $\frac{1}{180}$ части развернутого угла. Такую величину называют градусом. После выбора такого угла мы проводим с ним сравнение углов, величину которого нужно найти.

Самым простым способом измерения величины углов является измерение с помощью транспортира.

Пример задачи

Рассмотрим пример задачи связанной с основными понятиями геометрии.

Пример 1

Даны две прямые, которые имеют точку пересечения. Через точку, которая не принадлежит ни одной из них проведены две прямые, одна из которых перпендикулярна одной из выше описанных прямых, а другая - другой из них. Доказать, что они не совпадают.

Решение.

Изобразим рисунок по условию задачи.

Из условия задачи будем иметь, что $m⊥k,n⊥l$.

Предположим противное, пусть прямые $k$ и $l$ совпадают. Пусть это будет прямой $l$. Тогда, по условию $m⊥l$ и $n⊥l$. Следовательно, по теореме 1, прямые $m$ и $n$ не пересекаются. Получили противоречие, а значит прямые $k$ и $l$ не совпадают.

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис