Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Медианы, биссектрисы, высоты треугольника

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Содержание статьи

Начальные сведения о треугольниках

Выберем на плоскости три произвольные точки, которые будут удовлетворять условию аксиомы 1. Соединим эти точки между собой отрезками. Тогда

Определение 1

Треугольником будем называть такую геометрическую фигуру, которая состоит из трех точек, не имеющих общей прямой, соединенных отрезками.

Определение 2

Точки в рамках определения 1 называются вершинами треугольника.

Определение 3

Отрезки в рамках определения 1 называются сторонами треугольника.

Треугольник будем обозначать тремя точками его вершин (рис. 1)

Треугольник $EFG$

Медиана

Введем такое понятие, связанное с треугольниками как медиана.

Определение 4

Медианой будем называть отрезок, который соединяет вершину с серединой противоположной стороны.

Для более легкого запоминания можно пользоваться следующей «шуточной» иллюстрацией (рис. 2):

Готовые работы на аналогичную тему

Очевидно, что треугольник имеет три медианы. Для них справедлива следующая теорема (её доказательство в этой статье рассматривать не будем):

Теорема 1

Все три медианы в треугольнике пересекаются в единственной точке, которая будет называться центроидом треугольника.

Биссектриса

Введем такое понятие, связанное с треугольниками как биссектриса.

Определение 5

Биссектрисой будем называть луч, который проведен из вершины так, что делит угол в этой вершине на две равные части.

Для более легкого запоминания можно пользоваться следующей «шуточной» иллюстрацией (рис. 3):

Очевидно, что треугольник имеет три биссектрисы. Для них справедлива следующая теорема (её доказательство в этой статье рассматривать не будем):

Теорема 2

Все три биссектрисы в треугольнике пересекаются в единственной точке, которая будет называться инцентром треугольника.

Высота

Введем такое понятие, связанное с треугольниками как высота.

Определение 6

Высотой будем называть отрезок, который проведен из вершины так, что падает на противоположную сторону под прямым углом.

Для более легкого запоминания можно пользоваться следующей «шуточной» иллюстрацией (рис. 4):

Очевидно, что треугольник имеет три высоты. Для них справедлива следующая теорема (её доказательство в этой статье рассматривать не будем):

Теорема 3

Все три высоты в треугольнике пересекаются в единственной точке, которая будет называться ортоцентром треугольника.

Пример задач

Пример 1

Пусть дан треугольник $ABC$. Доказать, что если в нем $BD$ будет и высотой и медианой, то $AB=BC$.

Доказательство

Изобразим рисунок по условию задачи (рис. 5).

Так как $BD$ является медианой, то по определению 4 будет верно равенство $AD=DC$

Так как $BD$ является высотой, то по определению 6 будет верно равенство $∠ADB=∠BDC=90^0$

У треугольников $ADB$ и $BDC$ сторона $BD$ будет общей, следовательно, по всему сказанному выше эти треугольники равняются по первому признаку. Но тогда и стороны $AB$ и $BC$ равны.

Пример 2

Пусть нам даны равные треугольники $ABC$ и $A'B'C'$. В них проведены высоты $BH$ и $B'H'$, соответственно. Доказать, что эти высоты в треугольниках будут равны между собой.

Доказательство.

Изобразим рисунок по условию задачи (рис. 6).

Так как данные треугольники равны, то будет верно равенство $∠A=∠A'$

Так как $BH$ и $B'H'$ являются высотами, то по определению 6 будет верно равенство $∠AHB=∠A'H'B'=90^0$

Из треугольника $ABC$, имеем

$∠ABH=180^0-90^0-∠A=90^0-∠A$

Из треугольника $A'B'C'$ и равенства углов $∠A$ и $∠A'$, получим

$∠A'B'H'=180^0-90^0-∠A'=90^0-∠A'=90^0-∠A=∠ABH$

По всему сказанному выше, треугольники $AHB$ и $A'B'H'$ равняются по первому признаку. Но тогда и стороны $BH$ и $B'H'$ равны.

Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи

Автор статьи

Евгений Николаевич Беляев

Эксперт по предмету «Математика»

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис