Взаимное расположение прямых в пространстве

Разновидности уравнений прямой

Канонические уравнения прямой.Пусть задана точка $M_{0} \left(x_{0} ,y_{0} ,z_{0} \right)$, через которую проходит прямая, а также направляющий вектор $\overline{R}=m\cdot \overline{i}+n\cdot \overline{j}+p\cdot \overline{k}$, которому она параллельна. Уравнения $\frac{x-x_{0} }{m} =\frac{y-y_{0} }{n} =\frac{z-z_{0} }{p}$ называются каноническими уравнениями прямой.

Параметрические уравнения прямой. Введем обозначения: $\frac{x-x_{0} }{m} =t$, $\frac{y-y_{0} }{n} =t$, $\frac{z-z_{0} }{p} =t$. Здесь $t$ — параметр. Из этих равенств получаем: $x=x_{0} +m\cdot t$, $y=y_{0} +n\cdot t$, $z=z_{0} +p\cdot t$. Эти уравнения называются параметрическими уравнениями прямой.

Уравнение прямой, которая проходит через две заданные точки $M_{1} \left(x_{1} ,y_{1} ,z_{1} \right)$ и $M_{2} \left(x_{2} ,y_{2} ,z_{2} \right)$. Уравнения $\frac{x-x_{1} }{x_{2} -x_{1} } =\frac{y-y_{1} }{y_{2} -y_{1} } =\frac{z-z_{1} }{z_{2} -z_{1} } $, аналогичные каноническим, называются уравнениями прямой, проходящей через две заданные точки.

Общие уравнения прямой. Прямую линию в пространстве можно определить как линию пересечения двух не параллельных между собой плоскостей: $A_{1} \cdot x+B_{1} \cdot y+C_{1} \cdot z+D_{1} =0$ и $A_{2} \cdot x+B_{2} \cdot y+C_{2} \cdot z+D_{2} =0$. Решение системы уравнений, состоящей из уравнений плоскостей, называются общими уравнениями прямой.

Переход между различными видами уравнений прямой

От общих уравнений прямой можно перейти к каноническим. Для этого надо знать произвольную точку прямой и ее направляющий вектор. Выберем значение некоторой одной координаты произвольно. После этого координаты нужной точки можно найти из уравнений плоскостей, рассматривая их как систему относительно тех двух координат, которые остались. Для нахождения направляющего вектора отметим, что он должен быть перпендикулярным к нормальным векторам каждой из плоскостей. Поэтому для этого целиком подходит вектор их векторного произведения.

От канонических уравнений прямой можно перейти к общим. Для этого представим канонические уравнения как пару уравнений $\frac{x-x_{0} }{m} =\frac{z-z_{0} }{p} $ и $\frac{y-y_{0} }{n} =\frac{z-z_{0} }{p} $ и выполним преобразования.

Получаем: $p\cdot x-m\cdot z-p\cdot x_{0} +m\cdot z_{0} =0$ — уравнение плоскости, параллельной оси $Oy$, а $p\cdot y-n\cdot z-p\cdot y_{0} +n\cdot z_{0} =0$ — уравнение плоскости, параллельной оси $Ox$. Зная основные виды уравнений, описывающих прямые, можно более подробно рассмотреть способы расположения прямых в пространстве.

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Различают 3 случая взаимного расположения прямых в пространстве:

• Скрещивающиеся прямые в пространстве. Две прямых являются скрещивающимися, если они не имеют никаких общих точек и лежат в различных плоскостях. В жизни скрещивающиеся прямые — это, например, железная дорога, проходящая над автомагистралью;
• Две прямые находятся на одной плоскости и имеют одну общую точку, то есть пересекаются; Примером пересекающихся прямых в пространстве из реального мира служит обычный перекрёсток.
• Две прямые находятся на одной плоскости и не имеют общих точек, то есть параллельны друг другу. Существует частный случай параллельных прямых — это совпадающие прямые в пространстве.

Для того чтобы определить, пересекаются ли прямые в пространстве, необходимо составить систему уравнений, состоящую из уравнений этих прямых. Если эта система имеет решение, то прямые пересекаются.

Теперь рассмотрим подробнее, как определить взаимное расположение прямых в пространстве.

Пусть в пространстве заданы две прямые $L_{1} $ и $L_{2} $: $\frac{x-x_{1} }{m_{1} } =\frac{y-y_{1} }{n_{1} } =\frac{z-z_{1} }{p_{1} } $ и $\frac{x-x_{2} }{m_{2} } =\frac{y-y_{2} }{n_{2} } =\frac{z-z_{2} }{p_{2} } $. Выберем в пространстве произвольную точку и проведем через нее две вспомогательные прямые, параллельные данным.

Углом между прямыми $L_{1} $ и $L_{2} $ называют любой из двух сопряженных углов, образованных вспомогательными прямыми. Если величина одного из них $\phi $, то величина второго $\pi -\phi $.

Вместо вспомогательных прямых можно взять направляющие векторы данных прямых: $\overline{R_{1} }=m_{1} \cdot \overline{i}+n_{1} \cdot \overline{j}+p_{1} \cdot \overline{k}$ и $\overline{R_{2} }=m_{2} \cdot \overline{i}+n_{2} \cdot \overline{j}+p_{2} \cdot \overline{k}$. Косинус одного из углов между прямыми можно найти по формуле $\cos \phi =\frac{m_{1} \cdot m_{2} +n_{1} \cdot n_{2} +p_{1} \cdot p_{2} }{\sqrt{m_{1}^{2} +n_{1}^{2} +p_{1}^{2} } \cdot \sqrt{m_{2}^{2} +n_{2}^{2} +p_{2}^{2} } } $. Если значение $\cos \phi >0$, то получен острый угол между прямыми, если $\cos \phi$

Равенство $\cos \phi =0$ значит, что прямые перпендикулярны. Следовательно, условие перпендикулярности двух прямых в пространстве имеет вид $m_{1} \cdot m_{2} +n_{1} \cdot n_{2} +p_{1} \cdot p_{2} =0$.

Условие параллельности двух прямых совпадает с условием коллинеарности их направляющих векторов, то есть $\frac{m_{1} }{m_{2} } =\frac{n_{1} }{n_{2} } =\frac{p_{1} }{p_{2} }$.

Нахождение угла между прямыми частично решает также вопрос о нахождении их в одной плоскости. Имеется в виду то, что выполнение условия параллельности двух прямых одновременно означает, что они находятся в одной плоскости.

Теперь рассмотрим условие пересечения двух прямых, которое также является условием нахождения прямых в одной плоскости.

Из уравнений заданных прямых видно, что прямая $L_{1} $ проходит через точку $M_{1} \left(x_{1} ,y_{1} ,z_{1} \right)$, а прямая $L_{2} $ — через точку $M_{2} \left(x_{2} ,y_{2} ,z_{2} \right)$.

Рассмотрим вектор $\overline{M_{1} M_{2} }=\left(x_{2} -x_{1} \right)\cdot \overline{i}+\left(y_{2} -y_{1} \right)\cdot \overline{j}+\left(z_{2} -z_{1} \right)\cdot \overline{k}$, который соединяет эти точки, а также направляющие векторы $\overline{R_{1} }=m_{1} \cdot \overline{i}+n_{1} \cdot \overline{j}+p_{1} \cdot \overline{k}$ и $\overline{R_{2} }=m_{2} \cdot \overline{i}+n_{2} \cdot \overline{j}+p_{2} \cdot \overline{k}$ прямых $L_{1} $ и $L_{2} $.

Если прямые $L_{1} $ и $L_{2} $ действительно пересекаются, то они лежат в одной плоскости $P$. В этой же плоскости $P$ лежит и вектор $\overline{M_{1} M_{2} }$. Направляющий вектор $\overline{R_{1} }$ коллинеарен прямой $L_{1} $, а направляющий вектор $\overline{R_{2} }$ коллинеарен прямой $L_{2} $. Итак, все три вектора $\overline{M_{1} M_{2} }$, $\overline{R_{1} }$ и $\overline{R_{2} }$ лежат в параллельных плоскостях, то есть они компланарны. Запишем условие компланарности векторов $\left|\begin{array}{ccc} {x_{2} -x_{1} } & {y_{2} -y_{1} } & {z_{2} -z_{1} } \\ {m_{1} } & {n_{1} } & {p_{1} } \\ {m_{2} } & {n_{2} } & {p_{2} } \end{array}\right|=0$ и получим условие пересечения двух прямых, если же это условия не выполняется, то это скрещенные прямые в пространстве.