Найти уравнение плоскости, параллельной оси Ox и проходящей через точки M(3;1;2) и N(−1;2;1).
Плоскость, параллельна оси Ox, следовательно, уравнение этой плоскости имеет вид A⋅x+B⋅y+C⋅z+D=0, в котором A=0, то есть B⋅y+C⋅z+D=0.
Уравнению этой плоскости должны удовлетворять координаты точек M(3;1;2) и N(−1;2;1). Отсюда получаем: B⋅1+C⋅2+D=0 и B⋅2+C⋅1+D=0.
Решив систему полученных уравнений, получим: B=−D3, C=−D3.
Таким образом, уравнение искомой плоскости имеет вид:
−D3⋅y−D3⋅z+D=0 или y+z−3=0.
Через заданную точку M0(x0,y0,z0) провести плоскость параллельно двум заданным векторам ¯a=x1⋅¯i+y1⋅¯j+z1⋅¯k и ¯b=x2⋅¯i+y2⋅¯j+z2⋅¯k.
Пусть некоторая точка M(x,y,z) принадлежит нужной плоскости. Рассмотрим вектор ¯M0M=(x−x0)⋅¯i+(y−y0)⋅¯j+(z−z0)⋅¯k. Этот вектор лежит в нужной плоскости, и поэтому все три вектора компланарны. Условие компланарности трех векторов имеет вид: |x−x0y−y0z−z0x1y1z1x2y2z2|=0. Это условие одновременно представляет собой уравнение нужной плоскости.
Найти уравнения прямой в пространстве, проходящей через заданную точку и параллельной заданному вектору.
Положение прямой L в пространстве можно определить однозначно, если задать точку M0(x0,y0,z0), через которую она проходит, а также направляющий вектор ¯R=m⋅¯i+n⋅¯j+p⋅¯k, которому она параллельна.
Выберем на прямой L произвольную переменную точку M(x,y,z) и рассмотрим вектор ¯M0M=(x−x0)⋅¯i+(y−y0)⋅¯j+(z−z0)⋅¯k. Независимо от положения точки M(x,y,z), векторы ¯M0M и ¯R=m⋅¯i+n⋅¯j+p⋅¯k коллинеарны. Следовательно, для них справедливо условие коллинеарности векторов x−x0m=y−y0n=z−z0p. Эти уравнения и будут каноническими уравнениями искомой прямой.
Найти точку пересечения прямой x−51=y−3−1=z−20 и плоскости 3⋅x+y−5⋅z−12=0.
Координаты точки пересечения данной прямой и данной плоскости должны удовлятворять уравнениям и прямой, и плоскости. Поэтому искомые координаты могут быть найдены в результате решения системы уравнений {x−51=y−3−1=z−203⋅x+y−5⋅z−12=0.
Выполняем преобразование этой системы к стандартному виду:
{−1⋅(x−5)=y−3z−2=03⋅x+y−5⋅z−12=0 или {x+y=8z=23⋅x+y−5⋅z=12.
Результат решения системы: x=7, y=1, z=2.
Координаты точки пересечения прямой и плоскости P(7,1,2).
Найти канонические уравнения прямой, проходящей через точку B(0;−3;−1) параллельно прямой AD, проходящей через точки A(−3;2;1) и D(2;−1;5).
Направляющий вектор прямой AD, проходящей через точки A(−3;2;1) и D(2;−1;5), таков:
¯AD=(2−(−3))⋅¯i+(−1−2)⋅¯j+(5−1)⋅¯k=5⋅¯i−3⋅¯j+4⋅¯k.Выберем в пространстве произвольную точку T(x,y,z). Направляющий вектор прямой BT, проходящей через точки B(0;−3;−1) и T(x,y,z), таков:
¯BT=(x−0)⋅¯i+(y−(−3))⋅¯j+(z−(−1))⋅¯k=x⋅¯i+(y+3)⋅¯j+(z+1)⋅¯k.Для векторов ¯AD и ¯BT справедливо условие коллинеарности: x5=y+3−3=z+14. Эти условия и являются каноническими уравнениями искомой прямой.
Найти синус угла между плоскостью ABC, общее уравнение которой 11⋅x−y+19⋅z+16=0, и прямой AD, канонические уравнения которой x+35=y−2−3=z−14.
Вместо угла ϕ между плоскостью ABC и прямой AD рассмотрим угол θ между нормальным вектором плоскости ABC и направляющим вектором прямой AD. Этот угол является дополнительным к углу ϕ и поэтому cosθ=sinϕ.
Если x−x0m=y−y0n=z−z0p -- канонические уравнения прямой, то известно, что её направляющий вектор имеет вид ¯R=m⋅¯i+n⋅¯j+p⋅¯k.
Если A⋅x+B⋅y+C⋅z+D=0 -- общее уравнение плоскости, то известно, что её нормальный вектор имеет вид ¯N=A⋅¯i+B⋅¯j+C⋅¯k.
При этом косинус угла θ можно найти по формуле cosθ=A⋅m+B⋅n+C⋅p√A2+B2+C2⋅√m2+n2+p2.
В соответствии с условием задачи, уравнения x+35=y−2−3=z−14 -- канонические уравнения прямой AD, уравнение 11⋅x−y+19⋅z+16=0 -- общее уравнение плоскости ABC.
Вычисляем:
sinϕ=cosθ=11⋅5+(−1)⋅(−3)+19⋅4√112+(−1)2+192⋅√52+(−3)2+42≈0,005549.При каком значении n прямая x=2−7⋅t, y=−3−13⋅t, z=4+n⋅t параллельна плоскости 6⋅x−9⋅y+5⋅z−11=0?
Условие параллельности прямой x−x0l=y−y0m=z−z0n и плоскости A⋅x+B⋅y+C⋅z+D=0 имеет вид: A⋅l+B⋅m+C⋅n=0.
От параметрического задания прямой переходим к канонической форме:
x−2−7=t;y+3−13=t;z−4n=t;x−2−7=y+3−13=z−4n.В соотношение A⋅l+B⋅m+C⋅n=0 подставляем значения A=6, B=−9, C=5, l=−7, m=−13.
Получаем:
6⋅(−7)+(−9)⋅(−13)+5⋅n=0 или 75+5⋅n=0, откуда n=−15.
