Параллельность прямых, прямой и плоскости

Через заданную точку $M_{0} \left(x_{0} ,y_{0} ,z_{0} \right)$ провести плоскость параллельно двум заданным векторам $\overline{a}=x_{1} \cdot \overline{i}+y_{1} \cdot \overline{j}+z_{1} \cdot \overline{k}$ и $\overline{b}=x_{2} \cdot \overline{i}+y_{2} \cdot \overline{j}+z_{2} \cdot \overline{k}$.

Пусть некоторая точка $M\left(x,y,z\right)$ принадлежит нужной плоскости. Рассмотрим вектор $\overline{M_{0} M}=\left(x-x_{0} \right)\cdot \overline{i}+\left(y-y_{0} \right)\cdot \overline{j}+\left(z-z_{0} \right)\cdot \overline{k}$. Этот вектор лежит в нужной плоскости, и поэтому все три вектора компланарны. Условие компланарности трех векторов имеет вид: $\left|\begin{array}{ccc} {x-x_{0} } & {y-y_{0} } & {z-z_{0} } \\ {x_{1} } & {y_{1} } & {z_{1} } \\ {x_{2} } & {y_{2} } & {z_{2} } \end{array}\right|=0$. Это условие одновременно представляет собой уравнение нужной плоскости.

Найти уравнения прямой в пространстве, проходящей через заданную точку и параллельной заданному вектору.

Положение прямой $L$ в пространстве можно определить однозначно, если задать точку $M_{0} \left(x_{0} ,y_{0} ,z_{0} \right)$, через которую она проходит, а также направляющий вектор $\overline{R}=m\cdot \overline{i}+n\cdot \overline{j}+p\cdot \overline{k}$, которому она параллельна.

Выберем на прямой $L$ произвольную переменную точку $M\left(x,y,z\right)$ и рассмотрим вектор $\overline{M_{0} M}=\left(x-x_{0} \right)\cdot \overline{i}+\left(y-y_{0} \right)\cdot \overline{j}+\left(z-z_{0} \right)\cdot \overline{k}$. Независимо от положения точки $M\left(x,y,z\right)$, векторы $\overline{M_{0} M}$ и $\overline{R}=m\cdot \overline{i}+n\cdot \overline{j}+p\cdot \overline{k}$ коллинеарны. Следовательно, для них справедливо условие коллинеарности векторов $\frac{x-x_{0} }{m} =\frac{y-y_{0} }{n} =\frac{z-z_{0} }{p} $. Эти уравнения и будут каноническими уравнениями искомой прямой.

Найти точку пересечения прямой $\frac{x-5}{1} =\frac{y-3}{-1} =\frac{z-2}{0} $ и плоскости $3\cdot x+y-5\cdot z-12=0$.

Координаты точки пересечения данной прямой и данной плоскости должны удовлятворять уравнениям и прямой, и плоскости. Поэтому искомые координаты могут быть найдены в результате решения системы уравнений $\left\{\begin{array}{c} {\frac{x-5}{1} =\frac{y-3}{-1} =\frac{z-2}{0} } \\ {3\cdot x+y-5\cdot z-12=0} \end{array}\right. $.

Выполняем преобразование этой системы к стандартному виду:

$\left\{\begin{array}{c} {-1\cdot \left(x-5\right)=y-3} \\ {z-2=0} \\ {3\cdot x+y-5\cdot z-12=0} \end{array}\right. $ или $\left\{\begin{array}{c} {x+y=8} \\ {z=2} \\ {3\cdot x+y-5\cdot z=12} \end{array}\right. $.

Результат решения системы: $x=7$, $y=1$, $z=2$.

Координаты точки пересечения прямой и плоскости $P\left(7,1,2\right)$.

Найти канонические уравнения прямой, проходящей через точку $B\left(0;-3;-1\right)$ параллельно прямой $AD$, проходящей через точки $A\left(-3;2;1\right)$ и $D\left(2;-1;5\right)$.

Направляющий вектор прямой $AD$, проходящей через точки $A\left(-3;2;1\right)$ и $D\left(2;-1;5\right)$, таков:

\[\overline{AD}=\left(2-\left(-3\right)\right)\cdot \overline{i}+\left(-1-2\right)\cdot \overline{j}+\left(5-1\right)\cdot \overline{k}=5\cdot \overline{i}-3\cdot \overline{j}+4\cdot \overline{k}. \]

Выберем в пространстве произвольную точку $T\left(x,y,z\right)$. Направляющий вектор прямой $BT$, проходящей через точки $B\left(0;-3;-1\right)$ и $T\left(x,y,z\right)$, таков:

\[\overline{BT}=\left(x-0\right)\cdot \overline{i}+\left(y-\left(-3\right)\right)\cdot \overline{j}+\left(z-\left(-1\right)\right)\cdot \overline{k}=x\cdot \overline{i}+\left(y+3\right)\cdot \overline{j}+\left(z+1\right)\cdot \overline{k}. \]

Для векторов $\overline{AD}$ и $\overline{BT}$ справедливо условие коллинеарности: $\frac{x}{5} =\frac{y+3}{-3} =\frac{z+1}{4} $. Эти условия и являются каноническими уравнениями искомой прямой.

Найти синус угла между плоскостью $ABC$, общее уравнение которой $11\cdot x-y+19\cdot z+16=0$, и прямой $AD$, канонические уравнения которой $\frac{x+3}{5} =\frac{y-2}{-3} =\frac{z-1}{4} $.

Вместо угла $\phi $ между плоскостью $ABC$ и прямой $AD$ рассмотрим угол $\theta $ между нормальным вектором плоскости $ABC$ и направляющим вектором прямой $AD$. Этот угол является дополнительным к углу $\phi $ и поэтому $\cos \theta =\sin \phi $.

Если $\frac{x-x_{0} }{m} =\frac{y-y_{0} }{n} =\frac{z-z_{0} }{p} $ -- канонические уравнения прямой, то известно, что её направляющий вектор имеет вид $\overline{R}=m\cdot \overline{i}+n\cdot \overline{j}+p\cdot \overline{k}$.

Если $A\cdot x+B\cdot y+C\cdot z+D=0$ -- общее уравнение плоскости, то известно, что её нормальный вектор имеет вид $\overline{N}=A\cdot \overline{i}+B\cdot \overline{j}+C\cdot \overline{k}$.

При этом косинус угла $\theta $ можно найти по формуле $\cos \theta =\frac{A\cdot m+B\cdot n+C\cdot p}{\sqrt{A^{2} +B^{2} +C^{2} } \cdot \sqrt{m^{2} +n^{2} +p^{2} } } $.

В соответствии с условием задачи, уравнения $\frac{x+3}{5} =\frac{y-2}{-3} =\frac{z-1}{4} $ -- канонические уравнения прямой $AD$, уравнение $11\cdot x-y+19\cdot z+16=0$ -- общее уравнение плоскости $ABC$.

Вычисляем:

\[\sin \phi =\cos \theta =\frac{11\cdot 5+\left(-1\right)\cdot \left(-3\right)+19\cdot 4}{\sqrt{11^{2} +\left(-1\right)^{2} +19^{2} } \cdot \sqrt{5^{2} +\left(-3\right)^{2} +4^{2} } } \approx 0,005549.\]

При каком значении $n$ прямая $x=2-7\cdot t$, $y=-3-13\cdot t$, $z=4+n\cdot t$ параллельна плоскости $6\cdot x-9\cdot y+5\cdot z-11=0$?

Условие параллельности прямой $\frac{x-x_{0} }{l} =\frac{y-y_{0} }{m} =\frac{z-z_{0} }{n} $ и плоскости $A\cdot x+B\cdot y+C\cdot z+D=0$ имеет вид: $A\cdot l+B\cdot m+C\cdot n=0$.

От параметрического задания прямой переходим к канонической форме:

\[\frac{x-2}{-7} =t; \frac{y+3}{-13} =t; \frac{z-4}{n} =t; \frac{x-2}{-7} =\frac{y+3}{-13} =\frac{z-4}{n} . \]

В соотношение $A\cdot l+B\cdot m+C\cdot n=0$ подставляем значения $A=6$, $B=-9$, $C=5$, $l=-7$, $m=-13$.

Получаем:

$6\cdot \left(-7\right)+\left(-9\right)\cdot \left(-13\right)+5\cdot n=0$ или $75+5\cdot n=0$, откуда $n=-15$.