Формула нахождения вершины параболы

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Определение 1

Парабола – это геометрическое множество точек, равноудалённых от точки F, не лежащей на параболе, и прямой $d$ , не проходящей через точку $F$ .

Что значит вершина параболы

Определение 2

Вершина параболы – это точка, ближайшая к директрисе параболы. Она является центром отрезка, ограниченного точкой фокуса параболы $F$ и директрисой $d$ .

Производная в вершине квадратичной параболы равна нулю.

Каноническое уравнение параболы $y^2 = 2px$ справедливо для параболы, вершина которой находится в центре осей.

Для того, чтобы определить, принадлежит ли точка графику заданной параболы, необходимо подставить её координаты в формулу $y = ax^2 + bx + c$ .

Если равенство выполняется — точка принадлежит графику.

Как найти вершины параболы, задающейся квадратичной функцией

Рисунок 1. Пример уравнения и графика квадратичной параболы

Довольно часто парабола задаётся квадратичной функцией вида $y = ax^2 + bx + c$ , вершина такой параболы находится в произвольной точке.

Какой-то единой формулы для нахождения сразу обеих координат вершины параболы нет, но при этом определить координаты вершины параболы по уравнению довольно просто.

Алгоритм для нахождения вершины параболы такой:

Запишите коэффициенты $a, b, c$ из уравнения. Если коэффициент $a$ при $y$ положительный, то ветви параболы будут смотреть вверх, а если отрицательный, то вниз.
Найдите абсциссу вершины параболы ( $x$ вершины) по формуле $x = - \frac{b}{2a}$ , для этого воспользуйтесь коэффициентами $a, b, c$ из уравнения.
Подставьте найденный $x$ в уравнение параболы и вычислите ординату вершины параболы $y$ .
Запишите полученные координаты x и y вершины параболы в форме точки $(x; y)$ .

Пример 1

Рассмотрим уравнение параболы $y = x^2 – 5x + 7$

Коэффициенты этой параболы $a = 1$ , $b = -5$ , $c = 7$ .
Для вычисления x вершины параболы подставьте $a = 1$ и $b = -5$ в формулу $x = - \frac{b}{2a}= \frac{5}{2}=2.5$
Подставьте найденный $x$ в исходное уравнение:
$y = 2,5^2 – 5 \cdot 2.5 + 7$
$y = 0,75$
Координаты вершины этой параболы $(2.5;0.75)$ .

Вершина кубической параболы

Чтобы найти вершины (точки локальных минимумов и максимумов) кубической параболы, необходимо найти её производную, приравнять её к нулю и затем вычислить $x$ и $y$ .

Если же необходимо найти точку перегиба кубической параболы, необходимо найти вторую производную и также приравнять её к нулю.