Парабола – это геометрическое множество точек, равноудалённых от точки F, не лежащей на параболе, и прямой $d$, не проходящей через точку $F$.
Что значит вершина параболы
Вершина параболы – это точка, ближайшая к директрисе параболы. Она является центром отрезка, ограниченного точкой фокуса параболы $F$ и директрисой $d$.
Производная в вершине квадратичной параболы равна нулю.
Каноническое уравнение параболы $y^2 = 2px$ справедливо для параболы, вершина которой находится в центре осей.
Для того, чтобы определить, принадлежит ли точка графику заданной параболы, необходимо подставить её координаты в формулу $y = ax^2 + bx + c$.
Если равенство выполняется — точка принадлежит графику.
Как найти вершины параболы, задающейся квадратичной функцией
Рисунок 1. Пример уравнения и графика квадратичной параболы
Довольно часто парабола задаётся квадратичной функцией вида $y = ax^2 + bx + c$, вершина такой параболы находится в произвольной точке.
Какой-то единой формулы для нахождения сразу обеих координат вершины параболы нет, но при этом определить координаты вершины параболы по уравнению довольно просто.
Алгоритм для нахождения вершины параболы такой:
- Запишите коэффициенты $a, b, c$ из уравнения. Если коэффициент $a$ при $y$ положительный, то ветви параболы будут смотреть вверх, а если отрицательный, то вниз.
- Найдите абсциссу вершины параболы ($x$ вершины) по формуле $x = - \frac{b}{2a}$, для этого воспользуйтесь коэффициентами $a, b, c$ из уравнения.
- Подставьте найденный $x$ в уравнение параболы и вычислите ординату вершины параболы $y$.
- Запишите полученные координаты x и y вершины параболы в форме точки $(x; y)$.
Рассмотрим уравнение параболы $y = x^2 – 5x + 7$
- Коэффициенты этой параболы $a = 1$, $b = -5$, $c = 7$.
- Для вычисления x вершины параболы подставьте $a = 1$ и $b = -5$ в формулу $x = - \frac{b}{2a}= \frac{5}{2}=2.5$
- Подставьте найденный $x$ в исходное уравнение:
- $y = 2,5^2 – 5 \cdot 2.5 + 7$
- $y = 0,75$
- Координаты вершины этой параболы $(2.5;0.75)$.
Вершина кубической параболы
Чтобы найти вершины (точки локальных минимумов и максимумов) кубической параболы, необходимо найти её производную, приравнять её к нулю и затем вычислить $x$ и $y$.
Если же необходимо найти точку перегиба кубической параболы, необходимо найти вторую производную и также приравнять её к нулю.
