Логарифм произведения двух чисел $x$ и $y$ равен сумме логарифмов этих чисел при условии, что $x, y, a$ – положительные числа и $a \ne 1$:
$\log_{a}(x \cdot y)=\log_{a}x+\log_{a}y$.
Докажем данную теорему:
Возьмем два положительных числа $х$ и $у$. Примем $\log_{a}x=k$, $\log_{a}y=l$. Тогда $x=a^k$ и $y=a^l$. Найдем их произведение:
$x \cdot y=a^k \cdot a^l=a^{k+l}$.
Из выражения $x \cdot y=a^{k+l}$ получим $k+l=\log_{a}(x \cdot y)$.
Т.к. $k=\log_{a}x$, $l=\log_{a}y$, тогда $\log_{a}(x \cdot y)=\log_{a}x+\log_{a}y$.
Формула логарифма произведения применяется для упрощения вычисления логарифмов.
$\log_{11}21=\log_{11}(3 \cdot 7)=\log_{11}3+\log_{11}7$;
$\log_{1,8}1,8 \sqrt{11}=\log_{1,8}1,8+\log_{1,8} \sqrt{11}=1+\log_{1,8} \sqrt{11}$.
Формула логарифма произведения
Формула логарифма произведения распространяется не только на произведение двух чисел, но и на произведение конечного количества чисел:
$\log_{a}(x_1 \cdot x_2 \cdot \cdots \cdot x_n )=\log_{a}x_1+\log_{a}x_2+ \cdots +\log_{a}x_n$
при $a, x_1, x_2, \cdots, x_n > 0$ , $a \ne 1$.
$\lg(12\sqrt{3} y)=\lg12+\lg\sqrt{3}+\lgy$.
Логарифм произведения применяется в тех случаях, когда необходимо упростить выражение или выражение данного логарифма через другой необходимо для его вычисления при известном значении другого логарифма.
Вычислить $\log_{13}2197$.
Решение.
Применим свойство логарифма произведения:
$\log_{13}2197=\log_{13}(13 \cdot 13 \cdot 13)=\log_{13}13+\log_{13}13+\log_{13}13=3 \log_{13}13=3 \cdot 1=3$.
Ответ: $\log_{13}2197=3$.
Данный пример демонстрирует применение формулы логарифма числа, которое раскладывается на три множителя.
Вычислить $\log_{7}49 \sqrt[3]{49}$.
Решение.
Применим теорему о логарифме произведения:
$\log_{7}49 \sqrt[3]{49}=\log_{7}49+\log_{7} \sqrt[3]{49}=$
подлогарифмические выражения обоих логарифмов запишем как основание логарифма в степени, а затем применим формулу логарифма степени:
$=\log_{7}7^2+\log_{7}7^{\frac{2}{3}}=$
показатели степени вынесем из-под знака логарифма и запишем перед ним:
$=2 \log_{7}7+\frac{2}{3} log_{7}7=2+\frac{2}{3}=2 \frac{2}{3}$.
Ответ: $\log_{7}49 \sqrt[3]{49}=2 \frac{2}{3}$.
Сумма логарифмов
Верным будет и обратное определение:
Сумму логарифмов с одинаковыми основаниями можно представить в виде логарифма произведения подлогарифмических выражений:
$\log_{a}x+\log_{a}y=\log_{a}(x \cdot y)$
при $x, y, a > 0$, $a \ne 1$.
Упростить выражение $\log_{11}8+\log_{11}20$.
Решение.
Применим формулу суммы логарифмов:
$\log_{11}8+\log_{11}20=\log_{11}(8 \cdot 20)=\log_{11}160$.
Ответ: $\log_{11}8+\log_{11}20=\log_{11}160$.
Упростить выражение $\log_{39}3+\log_{39}13$.
Решение.
Применив формулу суммы логарифмов и воспользовавшись свойством $\log_{a}a=1$, получим:
$\log_{39}3+\log_{39}13=\log_{39}(3 \cdot 13)=\log_{39}39=1$.
Ответ: $\log_{39}3+\log_{39}13=1$.
Упростить выражение $\log_{12}2+\log_{12}72$.
Решение.
По формуле суммы логарифмов:
$\log_{12}2+\log_{12}72=\log_{12}(2 \cdot 72)=\log_{12}144=$
запишем подлогарифмическое выражение как основание логарифма $12$ в определенной степени:
$=\log_{12}12^2=$
теперь можем применить свойство логарифма степени:
$=2 \log_{12}12=$
воспользуемся свойством $\log_{a}a=1$ и получим:
$=2 \cdot 1=2$.
Ответ: $\log_{12}2+\log_{12}72=2$.
Упростить выражение $\log_{4}32+\log_{4}128$.
Решение.
Согласно сумме логарифмов:
$\log_{4}32+\log_{4}128=\log_{4}(32 \cdot 128)=\log_{4}4096=$
запишем подлогарифмическое выражение как основание логарифма $4$ в определенной степени:
$=\log_{4}4^6=$
теперь можем применить свойство логарифма степени:
$=6 \log_{4}4=$
воспользуемся свойством $\log_{a}a=1$ и получим:
$=6 \cdot 1=6$.
Ответ: $\log_{4}32+\log_{4}128=6$.
Упростить выражение $\log_{7}98+\log_{7}\frac{1}{2}$.
Решение.
Используем формулу суммы логарифмов:
$\log_{7}98+\log_{7}\frac{1}{2}=\log_{7}(98 \cdot \frac{1}{2})=\log_{7}49=$
запишем подлогарифмическое выражение как основание логарифма $7$ в определенной степени:
$=\log_{7}7^2=$
теперь можем применить свойство логарифма степени:
$=2 \log_{7}7=$
воспользуемся свойством $\log_{a}a=1$ и получим:
$=2 \cdot 1=2$.
Ответ: $\log_{7}98+\log_{7}\frac{1}{2}=2$.
Упростить выражение $\frac{\log_{8}4+\log_{8}16}{\log_{6}16+\log_{6}81}$.
Решение.
Применим к числителю и знаменателю формулу суммы логарифмов:
$\frac{\log_{8}4+\log_{8}16}{\log_{6}16+\log_{6}81}=\frac{\log_{8}(4 \cdot 6)}{\log_{6}(16 \cdot 81)} =\frac{\log_{8}64}{\log_{6}1296} =$
запишем подлогарифмическое выражение в числителе как основание логарифма $8$ в определенной степени, а в знаменателе – как основание логарифма 6 в определенной степени:
$=\frac{\log_{8}8^2}{\log_{6}6^4} =$
теперь можем применить свойство логарифма степени:
$=\frac{2 \log_{8}8}{4 \log_{6}6}=$
воспользуемся свойством $\log_{a}a=1$ и получим:
$=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{\log_{8}4+\log_{8}16}{\log_{6}16+\log_{6}81}=\frac{1}{2}$.
