Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Логарифм произведения

Логарифм произведения двух чисел x и y равен сумме логарифмов этих чисел при условии, что x,y,a – положительные числа и a1:

loga(xy)=logax+logay.

Докажем данную теорему:

Возьмем два положительных числа х и у. Примем logax=k, logay=l. Тогда x=ak и y=al. Найдем их произведение:

xy=akal=ak+l.

Из выражения xy=ak+l получим k+l=loga(xy).

Т.к. k=logax, l=logay, тогда loga(xy)=logax+logay.

Формула логарифма произведения применяется для упрощения вычисления логарифмов.

Пример 1

log1121=log11(37)=log113+log117;

log1,81,811=log1,81,8+log1,811=1+log1,811.

Формула логарифма произведения

Теорема 2

Формула логарифма произведения распространяется не только на произведение двух чисел, но и на произведение конечного количества чисел:

loga(x1x2xn)=logax1+logax2++logaxn

при a,x1,x2,,xn>0 , a1.

Пример 2

lg(123y)=lg12+lg3+lgy.

Замечание 1

Логарифм произведения применяется в тех случаях, когда необходимо упростить выражение или выражение данного логарифма через другой необходимо для его вычисления при известном значении другого логарифма.

Пример 3

Вычислить log132197.

Решение.

Применим свойство логарифма произведения:

log132197=log13(131313)=log1313+log1313+log1313=3log1313=31=3.

Ответ: log132197=3.

«Логарифм произведения» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Найти

Данный пример демонстрирует применение формулы логарифма числа, которое раскладывается на три множителя.

Пример 4

Вычислить log749349.

Решение.

Применим теорему о логарифме произведения:

log749349=log749+log7349=

подлогарифмические выражения обоих логарифмов запишем как основание логарифма в степени, а затем применим формулу логарифма степени:

=log772+log7723=

показатели степени вынесем из-под знака логарифма и запишем перед ним:

=2log77+23log77=2+23=223.

Ответ: log749349=223.

Сумма логарифмов

Верным будет и обратное определение:

Теорема 3

Сумму логарифмов с одинаковыми основаниями можно представить в виде логарифма произведения подлогарифмических выражений:

logax+logay=loga(xy)

при x,y,a>0, a1.

Пример 5

Упростить выражение log118+log1120.

Решение.

Применим формулу суммы логарифмов:

log118+log1120=log11(820)=log11160.

Ответ: log118+log1120=log11160.

Пример 6

Упростить выражение log393+log3913.

Решение.

Применив формулу суммы логарифмов и воспользовавшись свойством logaa=1, получим:

log393+log3913=log39(313)=log3939=1.

Ответ: log393+log3913=1.

Пример 7

Упростить выражение log122+log1272.

Решение.

По формуле суммы логарифмов:

log122+log1272=log12(272)=log12144=

запишем подлогарифмическое выражение как основание логарифма 12 в определенной степени:

=log12122=

теперь можем применить свойство логарифма степени:

=2log1212=

воспользуемся свойством logaa=1 и получим:

=21=2.

Ответ: log122+log1272=2.

Пример 8

Упростить выражение log432+log4128.

Решение.

Согласно сумме логарифмов:

log432+log4128=log4(32128)=log44096=

запишем подлогарифмическое выражение как основание логарифма 4 в определенной степени:

=log446=

теперь можем применить свойство логарифма степени:

=6log44=

воспользуемся свойством logaa=1 и получим:

=61=6.

Ответ: log432+log4128=6.

Пример 9

Упростить выражение log798+log712.

Решение.

Используем формулу суммы логарифмов:

log798+log712=log7(9812)=log749=

запишем подлогарифмическое выражение как основание логарифма 7 в определенной степени:

=log772=

теперь можем применить свойство логарифма степени:

=2log77=

воспользуемся свойством logaa=1 и получим:

=21=2.

Ответ: log798+log712=2.

Пример 10

Упростить выражение log84+log816log616+log681.

Решение.

Применим к числителю и знаменателю формулу суммы логарифмов:

log84+log816log616+log681=log8(46)log6(1681)=log864log61296=

запишем подлогарифмическое выражение в числителе как основание логарифма 8 в определенной степени, а в знаменателе – как основание логарифма 6 в определенной степени:

=log882log664=

теперь можем применить свойство логарифма степени:

=2log884log66=

воспользуемся свойством logaa=1 и получим:

=24=12.

Ответ: log84+log816log616+log681=12.

Дата последнего обновления статьи: 20.07.2024
Получи помощь с рефератом от ИИ-шки
ИИ ответит за 2 минуты
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Логарифм произведения"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant