Логарифм произведения двух чисел x и y равен сумме логарифмов этих чисел при условии, что x,y,a – положительные числа и a≠1:
loga(x⋅y)=logax+logay.
Докажем данную теорему:
Возьмем два положительных числа х и у. Примем logax=k, logay=l. Тогда x=ak и y=al. Найдем их произведение:
x⋅y=ak⋅al=ak+l.
Из выражения x⋅y=ak+l получим k+l=loga(x⋅y).
Т.к. k=logax, l=logay, тогда loga(x⋅y)=logax+logay.
Формула логарифма произведения применяется для упрощения вычисления логарифмов.
log1121=log11(3⋅7)=log113+log117;
log1,81,8√11=log1,81,8+log1,8√11=1+log1,8√11.
Формула логарифма произведения
Формула логарифма произведения распространяется не только на произведение двух чисел, но и на произведение конечного количества чисел:
loga(x1⋅x2⋅⋯⋅xn)=logax1+logax2+⋯+logaxn
при a,x1,x2,⋯,xn>0 , a≠1.
lg(12√3y)=lg12+lg√3+lgy.
Логарифм произведения применяется в тех случаях, когда необходимо упростить выражение или выражение данного логарифма через другой необходимо для его вычисления при известном значении другого логарифма.
Вычислить log132197.
Решение.
Применим свойство логарифма произведения:
log132197=log13(13⋅13⋅13)=log1313+log1313+log1313=3log1313=3⋅1=3.
Ответ: log132197=3.
Данный пример демонстрирует применение формулы логарифма числа, которое раскладывается на три множителя.
Вычислить log7493√49.
Решение.
Применим теорему о логарифме произведения:
log7493√49=log749+log73√49=
подлогарифмические выражения обоих логарифмов запишем как основание логарифма в степени, а затем применим формулу логарифма степени:
=log772+log7723=
показатели степени вынесем из-под знака логарифма и запишем перед ним:
=2log77+23log77=2+23=223.
Ответ: log7493√49=223.
Сумма логарифмов
Верным будет и обратное определение:
Сумму логарифмов с одинаковыми основаниями можно представить в виде логарифма произведения подлогарифмических выражений:
logax+logay=loga(x⋅y)
при x,y,a>0, a≠1.
Упростить выражение log118+log1120.
Решение.
Применим формулу суммы логарифмов:
log118+log1120=log11(8⋅20)=log11160.
Ответ: log118+log1120=log11160.
Упростить выражение log393+log3913.
Решение.
Применив формулу суммы логарифмов и воспользовавшись свойством logaa=1, получим:
log393+log3913=log39(3⋅13)=log3939=1.
Ответ: log393+log3913=1.
Упростить выражение log122+log1272.
Решение.
По формуле суммы логарифмов:
log122+log1272=log12(2⋅72)=log12144=
запишем подлогарифмическое выражение как основание логарифма 12 в определенной степени:
=log12122=
теперь можем применить свойство логарифма степени:
=2log1212=
воспользуемся свойством logaa=1 и получим:
=2⋅1=2.
Ответ: log122+log1272=2.
Упростить выражение log432+log4128.
Решение.
Согласно сумме логарифмов:
log432+log4128=log4(32⋅128)=log44096=
запишем подлогарифмическое выражение как основание логарифма 4 в определенной степени:
=log446=
теперь можем применить свойство логарифма степени:
=6log44=
воспользуемся свойством logaa=1 и получим:
=6⋅1=6.
Ответ: log432+log4128=6.
Упростить выражение log798+log712.
Решение.
Используем формулу суммы логарифмов:
log798+log712=log7(98⋅12)=log749=
запишем подлогарифмическое выражение как основание логарифма 7 в определенной степени:
=log772=
теперь можем применить свойство логарифма степени:
=2log77=
воспользуемся свойством logaa=1 и получим:
=2⋅1=2.
Ответ: log798+log712=2.
Упростить выражение log84+log816log616+log681.
Решение.
Применим к числителю и знаменателю формулу суммы логарифмов:
log84+log816log616+log681=log8(4⋅6)log6(16⋅81)=log864log61296=
запишем подлогарифмическое выражение в числителе как основание логарифма 8 в определенной степени, а в знаменателе – как основание логарифма 6 в определенной степени:
=log882log664=
теперь можем применить свойство логарифма степени:
=2log884log66=
воспользуемся свойством logaa=1 и получим:
=24=12.
Ответ: log84+log816log616+log681=12.