Логарифм частного
Логарифм частного двух чисел $х$ и $у$ представляет собой разность логарифмов этих чисел при условии, что $a, x, y$ – положительные числа и $a \ne 1$:
$\log_{a}\frac{x}{y}=\log_{a}x-\log_{a}y$.
Докажем данную теорему:
Возьмем два положительных числа $х$ и $у$. Примем $\log_{a}x=k$, $\log_{a}y=l$. Тогда $x=a^k$ и $y=a^l$. Найдем их частное:
$\frac{x}{y}=\frac{a^k}{a^l} =a^{k-l}$.
Из выражения $\frac{x}{y}=\frac{a^k}{a^l} =a^{k-l}$ получим $k-l=\log_{a}\frac{x}{y}$.
Т.к. $k=\log_{a}x$, $l=\log_{a}y$, то $\log_{a}\frac{x}{y}=\log_{a}x-\log_{a}y$.
Формула логарифма частного применяется для упрощения вычисления логарифмов.
$\log_{11}\frac{8}{13}=\log_{11}8-\log_{11}13$;
$\log_{9}\frac{1}{\sqrt[3]{2}}=\log_{9}1-\log_{9}\sqrt[3]{2}=0-\log_{9}\sqrt[3]{2}=-\log_{9}\sqrt[3]{2}$;
$\log_{9}\frac{9}{x}=\log_{9}9-\log_{9}x=1-\log_{9}x$.
Логарифм частного применяется в тех случаях, когда необходимо упростить выражение или выражение данного логарифма через другой необходимо для его вычисления при известном значении другого логарифма.
Вычислить $\log_{13}\frac{13}{\sqrt[3]{13}}$.
Решение.
Применим свойство логарифма частного:
$\log_{13}\frac{13}{\sqrt[3]{13}}=\log_{13}13-\log_{13}\sqrt[3]{13}=$
к первому логарифму применим свойство $\log_{a}a=1$, а во втором логарифме запишем подлогарифмическое выражение как основание логарифма $13$ в определенной степени:
$=1-\log_{13}13^{\frac{1}{3}}=1-\frac{1}{3} \log_{13}13=1-\frac{1}{3} \cdot 1=\frac{2}{3}$.
Ответ: $\log_{13}\frac{13}{\sqrt[3]{13}}=\frac{2}{3}$.
Вычислить $\log_{4}\frac{4}{n}$, если известно, что $\log_{4}n=18$.
Решение.
Применим формулу логарифма частного:
$\log_{4}\frac{4}{n}=\log_{4}4-\log_{4}n=1-18=-17$.
Ответ: $\log_{4}\frac{4}{n}=-17$.
Разница логарифмов
Верным будет и обратное определение:
Разницу логарифмов с одинаковыми основаниями можно представить в виде логарифма частного подлогарифмических выражений:
$\log_{a}x-\log_{a}y=\log_{a}\frac{x}{y}$
при положительных $a, x, y$, $a \ne 1$.
Упростить выражение $\log_{11}8-\log_{11}20$.
Решение.
Применим определение разности логарифмов:
$\log_{11}8-\log_{11}20=\log_{11}\frac{8}{20}=\log_{11}\frac{2}{5}=\log_{11}0,4$.
Ответ: $\log_{11}8-\log_{11}20=\log_{11}0,4$.
Упростить выражение $\log_{15}6750-\log_{15}2$.
Решение.
По формуле разности логарифмов:
$\log_{15}6750-\log_{15}2=\log_{15}\frac{6750}{2}=\log_{15}3375=$
запишем подлогарифмическое выражение как основание логарифма $15$ в определенной степени:
$=\log_{15}15^3=$
теперь можем применить свойство логарифма степени:
$=3 \log_{15}15=$
воспользуемся свойством $\log_{a}a=1$ и получим:
$=3 \cdot 1=3$.
Ответ: $\log_{15}6750-\log_{15}2=3$.
Упростить выражение $\log_{3}54-\log_{3}2$.
Решение.
По формуле разности логарифмов:
$\log_{3}54-\log_{3}2=\log_{3}\frac{54}{2}=\log_{3}27=$
запишем подлогарифмическое выражение как основание логарифма $3$ в определенной степени:
$=\log_{3}3^3=$
теперь можем применить свойство логарифма степени:
$=3 \log_{3}3=$
воспользуемся свойством $\log_{a}a=1$ и получим:
$=3 \cdot 1=3$.
Ответ: $\log_{3}54-\log_{3}2=3$.
Упростить выражение $\log_{4}192-\log_{4}3$.
Решение.
По формуле разности логарифмов:
$\log_{4}192-\log_{4}3=\log_{4}\frac{192}{3}=\log_{4}64=$
запишем подлогарифмическое выражение как основание логарифма $4$ в определенной степени:
$=\log_{4}4^3=$
теперь можем применить свойство логарифма степени:
$=3 \log_{4}4=$
воспользуемся свойством $\log_{a}a=1$ и получим:
$=3 \cdot 1=3$.
Ответ: $\log_{4}192-\log_{4}3=3$.
Упростить выражение $\log_{7}147-\log_{7}3$.
Решение.
По формуле разности логарифмов:
$\log_{7}147-\log_{7}3=\log_{7}\frac{147}{3}=\log_{7}49=$
запишем подлогарифмическое выражение как основание логарифма $7$ в определенной степени:
$=\log_{7}7^2=$
теперь можем применить свойство логарифма степени:
$=2 \log_{7}7=$
воспользуемся свойством $\log_{a}a=1$ и получим:
$=2 \cdot 1=2$.
Ответ: $\log_{7}147-\log_{7}3=2$.
Упростить выражение $\log_{1,5}50,625-\log_{1,5}10$.
Решение.
Согласно формуле разности логарифмов:
$\log_{1,5}50,625-\log_{1,5}10=\log_{1,5}\frac{50,625}{10}=\log_{1,5}5,0625=$
запишем подлогарифмическое выражение как основание логарифма $1,5$ в определенной степени:
$=\log_{1,5}1,5^4=$
теперь можем применить свойство логарифма степени:
$=4 \log_{1,5}1,5=$
воспользуемся свойством $\log_{a}a=1$ и получим:
$=4 \cdot 1=4$.
Ответ: $\log_{1,5}50,625-\log_{1,5}10=4$.
