Логарифм частного
Логарифм частного двух чисел х и у представляет собой разность логарифмов этих чисел при условии, что a,x,y – положительные числа и a≠1:
logaxy=logax−logay.
Докажем данную теорему:
Возьмем два положительных числа х и у. Примем logax=k, logay=l. Тогда x=ak и y=al. Найдем их частное:
xy=akal=ak−l.
Из выражения xy=akal=ak−l получим k−l=logaxy.
Т.к. k=logax, l=logay, то logaxy=logax−logay.
Формула логарифма частного применяется для упрощения вычисления логарифмов.
log11813=log118−log1113;
log913√2=log91−log93√2=0−log93√2=−log93√2;
log99x=log99−log9x=1−log9x.
Логарифм частного применяется в тех случаях, когда необходимо упростить выражение или выражение данного логарифма через другой необходимо для его вычисления при известном значении другого логарифма.
Вычислить log13133√13.
Решение.
Применим свойство логарифма частного:
log13133√13=log1313−log133√13=
к первому логарифму применим свойство logaa=1, а во втором логарифме запишем подлогарифмическое выражение как основание логарифма 13 в определенной степени:
=1−log131313=1−13log1313=1−13⋅1=23.
Ответ: log13133√13=23.
Вычислить log44n, если известно, что log4n=18.
Решение.
Применим формулу логарифма частного:
log44n=log44−log4n=1−18=−17.
Ответ: log44n=−17.
Разница логарифмов
Верным будет и обратное определение:
Разницу логарифмов с одинаковыми основаниями можно представить в виде логарифма частного подлогарифмических выражений:
logax−logay=logaxy
при положительных a,x,y, a≠1.
Упростить выражение log118−log1120.
Решение.
Применим определение разности логарифмов:
log118−log1120=log11820=log1125=log110,4.
Ответ: log118−log1120=log110,4.
Упростить выражение log156750−log152.
Решение.
По формуле разности логарифмов:
log156750−log152=log1567502=log153375=
запишем подлогарифмическое выражение как основание логарифма 15 в определенной степени:
=log15153=
теперь можем применить свойство логарифма степени:
=3log1515=
воспользуемся свойством logaa=1 и получим:
=3⋅1=3.
Ответ: log156750−log152=3.
Упростить выражение log354−log32.
Решение.
По формуле разности логарифмов:
log354−log32=log3542=log327=
запишем подлогарифмическое выражение как основание логарифма 3 в определенной степени:
=log333=
теперь можем применить свойство логарифма степени:
=3log33=
воспользуемся свойством logaa=1 и получим:
=3⋅1=3.
Ответ: log354−log32=3.
Упростить выражение log4192−log43.
Решение.
По формуле разности логарифмов:
log4192−log43=log41923=log464=
запишем подлогарифмическое выражение как основание логарифма 4 в определенной степени:
=log443=
теперь можем применить свойство логарифма степени:
=3log44=
воспользуемся свойством logaa=1 и получим:
=3⋅1=3.
Ответ: log4192−log43=3.
Упростить выражение log7147−log73.
Решение.
По формуле разности логарифмов:
log7147−log73=log71473=log749=
запишем подлогарифмическое выражение как основание логарифма 7 в определенной степени:
=log772=
теперь можем применить свойство логарифма степени:
=2log77=
воспользуемся свойством logaa=1 и получим:
=2⋅1=2.
Ответ: log7147−log73=2.
Упростить выражение log1,550,625−log1,510.
Решение.
Согласно формуле разности логарифмов:
log1,550,625−log1,510=log1,550,62510=log1,55,0625=
запишем подлогарифмическое выражение как основание логарифма 1,5 в определенной степени:
=log1,51,54=
теперь можем применить свойство логарифма степени:
=4log1,51,5=
воспользуемся свойством logaa=1 и получим:
=4⋅1=4.
Ответ: log1,550,625−log1,510=4.