Взаимно обратные числа, деление дробей

Например, взаимно обратными будут такие пары чисел:

$13$ и $\frac{1}{13}$;

$\frac{11}{17}$ и $\frac{17}{11}$;

$1$ и $1$.

Несложно проверить, что произведение каждой из пар чисел равно $1$:

$13 \cdot \frac{1}{13}=\frac{13 \cdot 1}{13}=\frac{1}{1}=1$;

$\frac{11}{17} \cdot \frac{17}{11}=\frac{11 \cdot 17}{17 \cdot 11}=\frac{1}{1}=1$;

$1 \cdot 1=1$.

Например, обратным числом для дроби $\frac{11}{27}$ будет дробь $\frac{27}{11}$.

Например, натуральное число 9 имеет взаимно обратное число $\frac{1}{9}$, а число $\frac{1}{6}$ является обратным натуральному числу $6$.

Разделить дробь $\frac{16}{3}$ на $\frac{5}{7}$.

Решение.

Найдем число, обратное делителю $\frac{5}{7}$, для чего поменяем местами ее числитель и знаменатель и получим $\frac{7}{5}$.

Согласно правилу деления обыкновенных дробей получим:

$\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$;

$\frac{16}{3}:\frac{5}{7}=\frac{16}{3} \cdot \frac{7}{5}=\frac{16 \cdot 7}{3 \cdot 5}=\frac{112}{15}$.

Ответ: $\frac{16}{3}:\frac{5}{7}=\frac{112}{15}$.

Разделить дробь $\frac{22}{5}$ на $\frac{11}{3}$.

Решение.

Найдем число, обратное делителю $\frac{11}{3}$, для чего поменяем местами ее числитель и знаменатель и получим $\frac{3}{11}$.

Согласно правилу деления обыкновенных дробей, получим:

$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d}=\frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$;

$\frac{22}{5} \div \frac{11}{3}=\frac{22}{5} \cdot \frac{3}{11}=\frac{22 \cdot 3}{5 \cdot 11}.$

Очевидно, что можно выполнить сокращение числителя и знаменателя на $11$:

$\frac{22 \cdot 3}{5 \cdot 11}=\frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 1}=\frac{6}{5}$.

Получили неправильную дробь, из которой необходимо выделить целую часть:

$\frac{6}{5}=1 \frac{1}{5}$.

Полная запись решения:

$\frac{22}{5}:\frac{11}{3}=\frac{22}{5} \cdot \frac{3}{11}=\frac{22 \cdot 3}{5 \cdot 11}=\frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 1}=\frac{6}{5}=1 \frac{1}{5}$.

Ответ: $\frac{22}{5}:\frac{11}{3}=1 \frac{1}{5}$.

Разделить дробь $\frac{3}{7}$ на число $5$.

Решение.

Воспользуемся правилом деления дроби на число и получим:

$\frac{a}{b}:n=\frac{a}{b \cdot n}$;

$\frac{3}{7}:5=\frac{3}{7 \cdot 5}=\frac{3}{35}$.

Ответ: $\frac{3}{7}:5=\frac{3}{35}$.

Разделить дробь $\frac{52}{7}$ на число $13$.

Решение.

Воспользуемся правилом деления дроби на число и получим:

$\frac{a}{b}:n=\frac{a}{b \cdot n}$;

$\frac{52}{7}:13=\frac{52}{7 \cdot 13}$.

Выполним сокращение дроби, разложив ее числитель и знаменатель на простые множители:

$\frac{52}{7 \cdot 13}=\frac{2 \cdot 2 \cdot 13}{7 \cdot 13}=\frac{4}{7}$.

Краткая запись решения:

$\frac{52}{7}:13=\frac{52}{7 \cdot 13}=\frac{4}{7}$.

Ответ: $\frac{52}{7}:13=\frac{4}{7}$.