Общий план исследования функций и построения графиков

Найти область определения функции $y=\frac{x}{x-1}$.

Решение:

Найдем ОДЗ рассматриваемой функции, т.е. значения переменной, при которых знаменатель не обращается в ноль.

ОДЗ: $x-1\ne 0\Rightarrow x\ne 1$

Запишем область определения: $D_{y} =\{ x\in R|x\ne 1\}$.

Определить вид функций: 1) $y=\frac{x}{x-1}$, 2) $y=\frac{x^{2} }{x^{2} -1}$; 3) $y=\frac{x}{x^{2} -1}$.

Решение:

1) $y=\frac{x}{x-1}$

$$y(-x)=\frac{-x}{-x-1} =-\frac{x}{-x-1}$$

$f(-x)\ne f(x);f(-x)\ne -f(x)$, следовательно, имеем функцию общего вида.

2) $y=\frac{x^{2} }{x^{2} -1}$

$$y(-x)=\frac{(-x)^{2} }{(-x)^{2} -1} =\frac{x^{2} }{x^{2} -1}$$

$f(-x)=f(x)$, следовательно, имеем четную функцию.

3) $y=\frac{x}{x^{2} -1}$.

$$y(-x)=\frac{-x}{(-x)^{2} -1} =\frac{-x}{x^{2} -1} =-\frac{x}{x^{2} -1}$$

$f(-x)\ne -f(x)$, следовательно, имеем нечетную функцию.

Определение точек пересечения графика функции с осями координат включает нахождение точек пересечения: с осью ОХ ($y=0$), с осью OY ($x=0$).

Найти точки пересечения с осями координат функции $y=\frac{x+2}{x-1}$.

Решение:

1. с осью ОХ ($y=0$)

$\frac{x+2}{x-1} =0\Rightarrow x+2=0\Rightarrow x=-2$; получаем точку (-2;0)

1. с осью ОY ($x=0$)

$y(0)=\frac{0+2}{0-1} =-2$, получаем точку (0;-2)

На основе результатов, полученных на этапе исследования функции, строится график. Иногда для построения графика функции недостаточно точек, полученных на первом этапе, тогда необходимо найти дополнительные точки.

Исследовать функцию и построить ее график: $y=x^{3} -6x^{2} +2x+1$.

Решение:

1. Область определения: $D_{y} =\{ x|x\in R\}$.
2. Область значений: $E_{y} =\{ y|y\in R\}$.
3. Четность, нечетность функции: $$y(-x)=(-x)^{3} -6(-x)^{2} +2\cdot (-x)+1=-x^{3} -6x^{2} -2\cdot x+1$$ $$y(-x)\ne -y(-x);y(-x)\ne y(x)$$

Функция общего вида, т.е. не является ни четной, ни нечетной.

4) Пересечение с осями координат:

• с осью OY: $y(0)=0^{3} -6\cdot 0^{2} +2\cdot 0+1=1$, следовательно, график проходит через точку (0;1).

• с осью OХ: $x^{3} -6x^{2} +2x+1=0$ (рациональных корней нет)

5) Асимптоты графика:

Вертикальных асимптот нет, так как $D_{y} =\{ x|x\in R\}$

Наклонные асимптоты будем искать в виде $y=kx+b$.

$k=\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } \frac{y(x)}{x} =\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } \frac{x^{3} -6x^{2} +2x+1}{x} =\infty$. Следовательно, наклонных асимптот нет.

6) Возрастание, убывание функции; экстремумы:

$$y'=(x^{3} -6x^{2} +2x+1)'=3x^{2} -12x+2$$ $$\begin{array}{l} {y'=0\Rightarrow 3x^{2} -12x+2=0} \\ {D=144-24=120} \\ {x_{1,2} =\frac{12\pm \sqrt{120} }{6} } \end{array}$$

Отметим точки на числовой оси, расставим знаки первой производной и отметим поведение функции:

Рисунок 1.

Функция возрастает на $\left(-\infty ;\frac{12-\sqrt{120} }{6} \right]$ и $\left[\frac{12+\sqrt{120} }{6} ;\infty \right)$, убывает на $\left[\frac{12-\sqrt{120} }{6} ;\frac{12+\sqrt{120} }{6} \right]$.

$x=\frac{12-\sqrt{120} }{6}$ - точка максимума; $y\left(\frac{12-\sqrt{120} }{6} \right)=1,172$

$x=\frac{12+\sqrt{120} }{6}$ - точка минимума; $y\left(\frac{12+\sqrt{120} }{6} \right)=-23,172$

7) Выпуклость, вогнутость графика:

$$y'=(x^{3} -6x^{2} +2x+1)'=3x^{2} -12x+2$$ $$\begin{array}{l} {y''=(3x^{2} -12x+2)'=6x-12} \\ {y''=0\Rightarrow 6x-12=0\Rightarrow x=2} \end{array}$$

Отметим точки на числовой оси, расставим знаки второй производной и отметим поведение графика функции:

Рисунок 2.

График направлен выпуклостью вверх на $(-\infty ;2]$, вниз на $[2;\infty )$.

$x=2$ - точка перегиба

$$y(2)=2^{3} -6\cdot 2^{2} +2\cdot 2+1=8-24+4+1=-11$$

8) График функции:

Рисунок 3.