Понятие о геометрическом теле
Перед тем как ввести определение геометрического тела, введем следующие несколько вводных понятий.
Точка называется граничной для какой-либо фигуры, если близкие к ней точки как содержатся в фигуре, так и не содержатся в ней.
Границей какой-либо фигуры называется совокупность всех граничных точек для этой фигуры.
Точка называется внутренней для какой-либо фигуры, если она принадлежит этой фигуре, но при этом не является граничной для нее.
Фигура называется ограниченной, если ей можно вписать в какую-либо сферу пространства.
Фигура называется связной, если любые точки, принадлежащие этой фигуре, могут быть соединены какой-либо непрерывной линией, не выходящей за границы этой фигуры.
Введем теперь, наконец-то, непосредственно определение геометрического тела.
Геометрическое тело -- это фигура в пространстве, которая является ограниченной, связной и содержит все свои граничные точки.
Граница геометрического тела называется поверхностью этого геометрического тела.
Примерами геометрического тела могут служить многогранники и тела вращения.
Многогранником называется геометрическое тело в пространстве, которое ограниченно несколькими многоугольниками.
Примерами многогранников могут быть тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр и другие (рис. 1).
Рисунок 1. Примеры многогранников
Далее подробно рассмотрим тела вращения.
Поверхности вращения
Понятие тела вращения.
Поверхность, которая образуется путем вращения какой-либо произвольной линии вокруг прямой, называется поверхностью вращения.
При этом, прямая, вокруг которой вращается поверхность называется ос вращения и является осью симметрии для полученной поверхности.
Примерами поверхностей вращения могут быть цилиндр, конус, шар и другие (рис. 2).
Рисунок 2. Примеры поверхностей вращения
Рассмотрим теперь тела вращения более подробно. Здесь мы не будем вдаваться в доказательства различных теорем.
Цилиндр.
Геометрическая фигура, образованная путем вращения прямоугольника вокруг одной из его сторон, называется цилиндром (рис. 3).
Рисунок 3. Цилиндр
Площадь поверхности цилиндра определяется следующим образом:
Площадь боковой поверхности цилиндра определяется как произведение длины окружности, ограничивающей основание цилиндра на его высоту, то есть
Объем цилиндра определяется как произведение площади основания цилиндра на его высоту, то есть
Конус.
Геометрическая фигура, образованная вращение прямоугольного треугольника вокруг своего катета, называется конусом (рис. 4).
Рисунок 4. Конус
Площадь поверхности цилиндра определяется следующим образом:
Площадь боковой поверхности конуса определяется как половина произведения длины окружности, ограничивающей основание конуса на его образующую, то есть
Сфера.
Геометрическая фигура, образованная путем вращения полуокружности вокруг диаметра, называется сферой (рис. 5).
Рисунок 5.
Площадь сферы определяется следующей формулой:
Пример задачи
Найти площадь полной поверхности цилиндра и его объем, если радиус его основания равняется см, а высота в два раза больше диаметра основания.
Решение.
Найдем вначале высоту цилиндра. Так как высота в два раза больше диаметра, получим
Как мы знаем
По теореме 1
Тогда
По теореме 2
Ответ:
