Метод трапеций — это метод приближённого интегрирования, полезный в тех случаях, когда нет возможности найти первообразную функции и вычислить интеграл через неё.
Помимо метода трапеций существуют другие методы приближённого интегрирования, например, метод прямоугольников и метод парабол.
Метод трапеций по сути похож на метод прямоугольников, но при этом он менее точный, чем метод средних прямоугольников.
Сущность метода трапеций
Рисунок 1. Метод трапеций для вычисления интегралов
Предположим, требуется вычислить интеграл от функции $f(x)$ на отрезке $\left[a;b\right]$.
Также как и в случае с методом прямоугольников разобьём график кривой на элементарные сегменты c помощью точек с абсциссами $x_i$, и получим ломаную с вершинами в точках $(x_i;y_i)$, при этом $y_i=f(x_i)$, а $i$ принимает значения от $0$ до $n-1$.
Для этого выберем количество отрезков, на которые разбиваем исследуемый интервал и воспользуемся формулой для вычисления длины одного такого отрезка, которую мы уже использовали для метода прямоугольников:
$∆x=\frac{b-a}{n}$
Для вычисления по методу трапеций между собой соединяются две рядом стоящие точки разбиения, в результате образуя элементарные сегменты. Как видно дальше, значение функции $f(x)$ берётся на границах исследуемого отрезка.
Площадь первой такой трапеции составит:
$S_1=\frac{b-a}{n} \cdot \frac{y_1+y_2}{2}$,
а площадь $i$-ой трапеции составит:
$S_i=\frac{b-a}{n} \cdot \frac{y_{i-1}+y_i}{2}$,
Сложим площади всех элементарных трапеций:
$\int^b_a f(x)dx =\frac{b-a}{n}(\frac{y_0+y_n}{2}+y_1+y_2+...+y_{n-1})$
Таким образом, площади всех элементарных трапеций, сложенные вместе, являются приближённой площадью фигуры, ограниченной линиями $x=a$, $x=b$, осью абсцисс и графиком кривой $f(x)$.
Формула для приближённого вычисления интеграла методом трапеций:
$\int_a^b f(x)dx ≈\frac{x_i-x_{i-1}}{2} \cdot(f(x_0)+2\sum^{n-1}_{i=1}f(x_i)+f(x_n))$
Погрешность при использовании метода трапеций
Погрешность метода составляет:
$|δ_n|≤max_{x \in\left[a;b\right]}|f’’(x)| \cdot \frac{n\cdot(\frac{x_i-x_{i-1}}{2})^3}{12}=max_{x \in\left[a;b\right]}|f’’(x)| \cdot (\frac{(b-a)^3}{12n^2})$
Как видно из вышеприведённой формулы, здесь погрешность несколько больше чем погрешность метода средних прямоугольников, однако, не всегда удобно использовать именно этот метод. Метод трапеции удобен если самого графика функции нет, но есть значения, которые принимает функция $f(x)$ в точках разбиения. В случаях же когда всё же есть график, целесообразнее пользоваться методом средних прямоугольников.
Также при невозможности определения максимума функции сложно определить вычисляемую погрешность. В этом случае можно прибегнуть к следующему: сначала провести численное интегрирование методом трапеций для $n=10$, а затем на том же отрезке провести вычисление при $n=20$. Если разница двух полученных значений интегралов составляет меньше чем требуемая по условию погрешность, то в качестве ответа выбирают приближённое значение интеграла при $n=20$, а вычисления заканчивают. В противном случае если требуемая точность не достигнута, продолжают удваивать дальше количество отрезков.
Посчитайте интеграл $\int_1^2 \frac{dx}{x}=ln2$ с точностью до $0, 001$, используя метод трапеций.
Разобьём нашу функцию на 10 равных сегментов.
В начале оценим погрешность вычисления:
$|δ_n|≤max_{x\in \left[1;2\right]}|(\frac{1}{x})’’| \cdot \frac{(2-1)^3}{12 \cdot 10^2}$
В данном случае погрешность составляет $|δ_n|≤0.00008$, следовательно, для разбиения можно использовать 10 сегментов.
Также как и с методом прямоугольников, разобьём подынтегральную функцию на 10 отрезков, длина каждого из которых $Δx=\frac{2-1}{10}=0,1$ и вычислим значение подынтегральной функции $y(x)=\frac{1}{x}$ на границах каждого отрезка:
$x_0=1,0;y_0=1,0000;$
$x_1=1,1; y_1=0,9091;$
$x_2=1,2; y_2=0,8333;$
$x_3=1,3; y_3=0,7692;$
$x_4=1,4; y_4=0,7143;$
$x_5=1,5; y_5=0,6667;$
$x_6=1,6; y_6=0,6250;$
$x_7=1,7; y_7=0,5882;$
$x_8=1,8; y_8=0,5556;$
$x_9=1,9; y_9=0,5263;$
$x_{10}=2,0; y_{10}=0,5000;$
Сумма всех вычисленных значений функции $f(x)$ от первого до девятого включительно составит $6.1877$, а само значение интеграла составит:
$\int_1^2 \frac{dx}{x}=0,1 \cdot (\frac{1,5000}{2})+ 6,1877=0.69377$
Данное значение отвечает необходимой точности.
