В случае с методом Симпсона для вычисления интегралов в отличие от метода прямоугольников и метода трапеций, функция кривой $y=f(x)$ на элементарных отрезках $\left[x_{i-1};x_i\right]$ заменяется не отрезками прямых, а дугами парабол, в результате получается более точная формула для приближённого вычисления интеграла $\int_a^b f(x)dx$.
Вывод формулы Симпсона
Для начала рассмотрим, как найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху функцией $y=ax^2+bx+c$, по бокам прямыми, параллельными оси ординат $x=-h$, $x=h$, а снизу отрезком, параллельным оси абсцисс.
Рисунок 1. Вычисление площади криволинейной трапеции
Статья: Метод Симпсона
Парабола проходит через три точки $M_1, M_2$ и $M_3$ c координатами соответственно $(-h; y_0), (0; y_1)$ и $(h;y_2)$. При этом функция $y$ в точке $(-h; y_0)$ будет равна $y_0=ah^2-bh+c$, в точке $(0; y_1)$ она равна $y_1=c$, так как $x=0$, а в точке $(h;y_2)$ она имеет значение $y_2= ah^2+bh+c$.
Соответственно, площадь $S$ равна:
$\int_{-h}^h (ax^2 + bx + c)dx=(a\frac{x^3}{3} + b\frac{x^2}{2}+cx)|^h_{-h}=\frac{2}{3}ah^3+2ch\left(1\right).$
Из формул, описывающих значения функций в рассматриваемых точках, получаем, что $c=y_1, a =\frac{1}{2h^2}(y_0-2y_1+y_2)$. Подставим эти значения в выражение $(1)$, получим:
$S=\frac{2}{3}h^3 \cdot \frac{1}{2h^2}(y_0-2y_1+y_2)+2hy_1= \frac{h}{3}(y_0-2y_1+y_2) + 2hy_1 = \frac{h}{3} \cdot (y_0 + 4y_1+y_2)\left(2\right)$
Полученная формула является формулой для вычисления площади криволинейной трапеции. Перейдём от неё к формуле парабол для приближённого вычисления определённого интеграла.
Сначала разобьём отрезок $\left[a;b\right]$ на $2n$ равных отрезков длиной $h=\frac{b-a}{2n}$, для этого отложим точки $x_i=x_0+ih, (i=0...2n)$, причём $x_0=a$, a $x_{2n}=b$. Получим $2n$ элементарных трапеций (рис. 2). В каждой из этих точек с абсциссой $x_i$ вычисляем значение функции $y$.
Рисунок 2. Вычисление площади фигуры, ограниченной линиями, по методу Симпсона
Теперь перейдём от элементарных трапеций к формуле Cимпсона для вычисления интеграла. Для этого каждую пару элементарных криволинейных трапеций, основания у которых равны $h$, заменяем на одну трапецию с основанием $2h$. Рассматриваем кривую $y=f(x)$ на отрезке $\left[x_0;x_2\right]$, она проходит через 3 точки с координатами $(x_0;y_0), (x_1;y_1), (x_2;y_2)$. Подставим их в формулу $(2)$:
$S_1=\int^{x_2}_{x_0} f(x)dx=\frac{h}{3}(y_0 + 4y_1+y_2)$.
Аналогично находим все остальные площади:
$S_n=\int^{x_{2n}}_{x_{2n-2}} f(x)dx=\frac{h}{3}(y_{2n-2}+ 4y_{2n-1}+y_{2n})$.
Теперь складываем полученные равенства и получаем:
$\int^b_a f(x)dx≈\frac{b-a}{6n}((y_0+y_{2n}+4(y_1+y_3+...+y_{2n-1})+2(y_2+y_4+...+y_{2n-2}))\left(3\right)$
Полученная формула носит название метода парабол или иначе формула Симпсона.
Оценка погрешности при использовании метода парабол
Погрешность для метода парабол вычисляется по формуле:
$|R_n|≤\frac{b-a)^5}{180 \cdot (2n)^4} \cdot M_4$, где $M_4=max_{a≤x≤ b}|f^{IV}(x)|$
Формула Симпсона даёт точное значение для всех функций, в которых максимальная степень при $x$ меньше или равна $3$, так как четвёртая производная в этом случае равна нулю.
Нахождение определённого интеграла не всегда удобно из-за трудности вычисления $M_4$, поэтому при возникновении сложностей пользуются методом трапеций.
Вычислите интеграл $\int^2_0 x^3dx$ при этом разбив отрезок интегрирования на 4 элементарных.
Решение:
Для начала проведём подготовительные вычисления для функции $f(x)=x^3$:
$a=0=x_0, b=2=x_4$, следовательно, длина элементарного отрезка составит:
$h=\frac{b-a}{4}=\frac{1}{2}$.
Определяем координаты границ элементарных отрезков:
$x_0=0; y_0= 0$
$x_1=\frac{1}{2}; y_1=\frac{1}{8}$
$x_2=1; y_2=1$
$x_3=\frac{3}{2}; y_3=\frac{27}{8}$
$x_4=2; y_4=8$.
Теперь воспользуемся формулой парабол и вычислим интеграл:
$\int^2_0 x^3dx≈\frac{2}{12}(0+8+4(\frac{1}{8}+ \frac{27}{8}) + 2) = 4$
Так как четвёртая производная функции $y(x)=x^3$ равна нулю, погрешность метода в данном случае также будет нулевой.
