Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Директриса параболы

Определение 1

Директрисой параболы называют такую прямую, кратчайшее расстояние от которой до любой точки $M$, принадлежащей параболе точно такое же, как и расстояние от этой же точки до фокуса параболы $F$.

Фокус и директриса параболы

Рисунок 1. Фокус и директриса параболы

Основные понятия параболы

Отношение расстояний от точки $M$, лежащей на параболе, до этой прямой и от этой же точки до фокуса $F$ параболы называют эксцентриситетом параболы $ε$.

Чтобы найти эксцентриситет параболы, достаточно воспользоваться следующей формулой из определения эксцентриситета: $ε =\frac{MF}{MM_d}$, где точка $M_d$ - точка пересечения перпендикуляра, опущенного из точки $M$ c прямой $d$.

Определение 2

Каноническая парабола задается уравнением вида $y^2 = px$, где $p$ обязательно должно быть больше нуля.

Более часто приходится иметь дело с параболой, вершина которой не находится в точке начала координатных осей, и тогда уравнение параболы приобретает следующий вид:

$y = ax^2 + bx + c$, при этом коэффициент $a$ не равен нулю.

Чтобы найти директрису такой параболы, необходимо от такой формы перейти к канонической, ниже в примерах показано, как это сделать.

Расстояние от фокуса до директрисы параболы называется её фокальным параметром $p$. Уравнение директрисы канонической параболы имеет следующий вид: $x=-p/2$

Алгоритм составления уравнения директрисы параболы, заданной не каноническим уравнением

Готовые работы на аналогичную тему

Чтобы составить уравнение директрисы параболы, вершина которой не находится на пересечении осей координат, достаточно воспользоваться следующим алгоритмом:

  1. Перенесите все слагаемые с $y$ в левую часть уравнения, а с $x$ - в правую.
  2. Упростите полученное выражение.
  3. Введите дополнительные переменные чтобы прийти к каноническому виду уравнения.
Пример 1

Составьте уравнение директрисы параболы, описанной уравнением $4x^2 + 24 x – 4y + 36 = 0$

  1. Переносим все слагаемые с $y$ в левую часть и избавляемся от множителя, получаем:

    $y^2 = x^2 + 6x – y + 9$

  2. Приводим в форму квадрата:

    $(x + 3)^2 = y$

  3. Вводим дополнительные переменные $t = x + 3$ и $y = z$

  4. Получаем следующее уравнение: $t^2 = z$
  5. Выражаем $p$ из канонического уравнения параболы, получаем $p = \frac{y^2}{2x}$, следовательно, в нашем случае $p = \frac{1}{2}$.
  6. Уравнение директрисы приобретает следующий вид: $t = -\frac{1}{4} \cdot t$. Подставляем $t$ и получаем следующее уравнение директрисы $x = -3\frac{1}{4}$.
Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи

Автор статьи

оксана николаевна кузнецова

Эксперт по предмету «Математика»

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис