Уравнение окружности и прямой

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Уравнение линии на плоскости

Введем для начала понятие уравнения линии в двумерной системе координат. Пусть в декартовой системе координат построена произвольная линия $L$ (Рис. 1).

Рисунок 1. Произвольная линия в системе координат

Определение 1

Уравнение с двумя переменными $x$ и $y$ называется уравнением линии $L$ , если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки, принадлежащей линии $L$ и не удовлетворяет ни одна точка, не принадлежащая линии $L.$

Уравнение окружности

Выведем уравнение окружности в декартовой системе координат $xOy$ . Пусть центр окружности $C$ имеет координаты $(x_0,y_0)$ , а радиус окружности равен $r$ . Пусть точка $M$ с координатами $(x,y)$ -- произвольная точка этой окружности (рис. 2).

Рисунок 2. Окружность в декартовой системе координат

Расстояние от центра окружности до точки $M$ вычисляется следующим образом

Но, так как $M$ лежит на окружности, то получаем $CM=r$ . Тогда получим следующее

Уравнение (1) и есть уравнение окружности с центром в точке $(x_0,y_0)$ и радиусом $r$ .

В частности, если центр окружности совпадает с началом координат. То уравнение окружности имеет вид

Уравнение прямой.

Выведем уравнение прямой $l$ в декартовой системе координат $xOy$ . Пусть точки $A$ и $B$ имеют координаты $\left\{x_1,\ y_1\right\}$ и $\{x_2,\ y_2\}$ соответственно, причем точки $A$ и $B$ выбраны так, что прямая $l$ - серединный перпендикуляр к отрезку $AB$ . Выберем произвольную точку $M=\{x,y\}$ , принадлежащую прямой $l$ (рис. 3).

«Уравнение окружности и прямой» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Помощь с рефератом от нейросети

Написать ИИ

Рисунок 3. Прямая в декартовой системе координат

Так как прямая $l$ - серединный перпендикуляр к отрезку $AB$ , то точка $M$ равноудалена от концов этого отрезка, то есть $AM=BM$ .

Найдем длины данных сторон по формуле расстояния между точками:

Следовательно

Обозначим через $a=2\left(x_1-x_2\right),\ b=2\left(y_1-y_2\right),\ c={x_2}^2+{y_2}^2-{x_1}^2-{y_1}^2$ , Получаем, что уравнение прямой в декартовой системе координат имеет следующий вид:

Замечание 1

Здесь можно выделить два частных случая для уравнения прямой. Пусть прямая $l$ проходит через точку $M=\{x_0,y_0\}$ , тогда

Если прямая $l$ параллельна оси $Ox$ , то она имеет вид

$y = y_{0}$
$y=y_0$
Если прямая $l$ параллельна оси $Oy$ , то она имеет вид

$x = x_{0}$
$x=x_0$

Пример задачи на нахождение уравнений линий в декартовой системе координат

Пример 1

Найти уравнение окружности с центром в точке $(2,\ 4)$ . Проходящей через начало координат и прямую, параллельную оси $Ox,$ проходящей через её центр.

Решение.

Найдем сначала уравнение данной окружности. Для этого будем использовать общее уравнение окружности (выведенное выше). Так как центр окружности лежит в точке $(2,\ 4)$ , получим