Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Системы уравнений, сводящиеся к квадратным

Содержание статьи

В этой статье мы рассмотрим примеры решения таких систем уравнений с одной и двумя переменными, которые сводятся к решению квадратных уравнений. Существует множество видов таких систем. Охватить все виды таких систем уравнений в рамках одной статьи нельзя. Мы не будем вдаваться здесь в терминологию самих уравнений, а просто на примерах рассмотрим решения некоторых из них.

Системы с одной переменной

Классическим случаем систем, которые сводятся к квадратным можно непосредственно считать системы, которые и состоят из квадратных уравнений. Приведем такой пример.

Пример 1

Решить

$\cases{2x^2+\sqrt{7}x-7=0,\\x^2+\sqrt{7}x=0.}$

Решение.

Решим первое уравнение с помощью формул.

Найдем для начала для нашего уравнения значение дискриминанта.

$D=(\sqrt{7})^2-4\cdot 2\cdot (-7)=7+56=63$

Так как $63$ – положительное число, то мы приходим к первому случаю (два корня). Найдем их по выше найденным формулам.

Первый корень:

$x=\frac{\sqrt{63}-\sqrt{7}}{2\cdot 2}=\frac{2\sqrt{7}}{4}=0,5\sqrt{7}$

Второй корень:

$x=\frac{-\sqrt{63}-\sqrt{7}}{2\cdot 2}=\frac{-4\sqrt{7}}{4}=-\sqrt{7}$

Решим второе уравнение вынесением общего множителя (как частный случай квадратного уравнения).

$x(x+\sqrt{7})=0$

Корни: $0$ и $-\sqrt{7}$.

Выбирая общий корень, получим

Ответ: $-\sqrt{7}.$

Системы с двумя неизвестными

Рассмотрим систему с двумя уравнениями, которая имеет в своем составе одно уравнение первой степени, а второе уравнение второй степени. Для ее решения нам нужно будет из линейного уравнения выразить одну из переменных и подставить в другое, тем самым и получив квадратное уравнение. Далее решение уже очевидно. Рассмотрим пример:

Пример 2

Решить

$\cases{x^2+y^2=5,\\\sqrt{3} x+y=3.}$

Решение.

Вначале выражаем из второго $x$

$x=\frac{3-y}{\sqrt{3}}$

Подставляя в первое и производим элементарные преобразования

$(\frac{3-y}{\sqrt{3}})^2 +y^2=5$

$\frac{9-6y+y^2}{3}+y^2=5\cdot 3$

$9-6y+y^2+3y^2=15$

$4y^2-6y-6=0$

$2y^2-3y-3=0$

Мы перешли к решению квадратного уравнения. Сделаем это с помощью формул. Найдем дискриминант:

$D=9+24=33 >0$

Первый корень

$y=\frac{3+\sqrt{33}}{4}$

Второй корень

$y=\frac{3-\sqrt{33}}{4}$

Найдем вторую переменную.

Для первого корня:

$x=\frac{3-\frac{3+\sqrt{33}}{4}}{\sqrt{3}}=\frac{9-\sqrt{33}}{4\sqrt{3}}$

Для второго корня:

$x=\frac{3-\frac{3-\sqrt{33}}{4}}{\sqrt{3}}=\frac{9+\sqrt{33}}{4\sqrt{3}}$

Ответ: $(\frac{9-\sqrt{33}}{4\sqrt{3}},\frac{3+\sqrt{33}}{4})$ и $(\frac{9+\sqrt{33}}{4\sqrt{3}},\frac{3-\sqrt{33}}{4})$

Готовые работы на аналогичную тему

Рассмотрим теперь систему в которой оба уравнения имеют вторую степень и покажем немного другой ход его приведения к решению квадратного уравнения.

Пример 3

Решить

$\cases{x^2+y^2=5,\\3x^2+5xy+2y^2=0.}$

Решение.

Разделив на $y^2$ второе уравнение, получим

$3(\frac{x}{y})^2+5\cdot \frac{x}{y}+2=0$

Сделаем в нем следующую замену $\frac{x}{y}=q$, получим квадратное уравнение

$3q^2+5q+2=0$

Решая его с помощью формул, будем получать

$D=25-24=1$

Первый корень:

$q=\frac{-5-1}{6}=-1$

Второй корень:

$q=\frac{-5+1}{6}=\frac{-2}{3}$

Используя первый корень, получим $x=-y$, подставим в первое

$y^2+y^2=5$

$y=±\sqrt{2.5}$

$x=∓\sqrt{2.5}$

Используя второй корень, получим $x=\frac{-2}{3} y$, подставим в первое

$\frac{4}{9} y^2+y^2=5$

$y=±3\sqrt{\frac{5}{13}}$

$x=∓2\sqrt{\frac{5}{13}}$

Так же нужно не забыть, что мы делили на $y^2$ и, поэтому, проверить, нет ли решения при $y=0$:

$\cases{x^2=5,\\3x^2=0.} - решения нет.$

Ответ: $(\sqrt{2.5},-\sqrt{2.5})$, $(-\sqrt{2.5},\sqrt{2.5})$, $(-2\sqrt{\frac{5}{13}},3\sqrt{\frac{5}{13}})$, $(2\sqrt{\frac{5}{13}},-3\sqrt{\frac{5}{13}})$

Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи

Автор статьи

Сергей Евгеньевич Грамотинский

Эксперт по предмету «Математика»

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис