Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Квадратные уравнения и их корни. Системы нелинейных уравнений

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис
Все предметы / Математика / Квадратные уравнения и их корни. Системы нелинейных уравнений
Квадратные уравнения и их корни. Системы нелинейных уравнений

Для начала введем непосредственно определение квадратного уравнения.

Определение 1

Квадратным будем называть уравнение, которое имеет вид $αx^2+βx+γ=0$, где $α≠0$, $γ$ и $β$ являются действительными числами.

Рассмотрим далее три различных случая в зависимости от коэффициентов уравнения. Отметим, что в данной статье мы не будем приводить общих методов для решения таких уравнений, а просто приведем корни таких уравнений для различных случаев.

Случай $β=0,γ=0$

Уравнение тогда будет иметь вид

$αx^2=0$

Очевидно, что в этом случае независимо от значения переменной перед x уравнение будет тогда иметь единственный $x=0$.

Пример 1

Решить

$πx^2=0$

Решение.

Из общего решения этого уравнения, описанного выше, получим

Ответ: $0$.

Случай $β≠0,γ=0$

Уравнение тогда будет иметь вид

$αx^2+βx=0$

Будем решать его путем разложения на множители.

$x(αx+β)=0$

Очевидно, что один из корней всегда равняется нулю.

Второй же корень находим их линейного уравнения

$αx+β=0$

$x=\frac{-β}{α}$

Пример 2

Решить

$3x^2+6x=0$

Решение.

За скобки вынесем $3x$

$3x(x+2)=0$

$x=0$ и $x=-2$

Ответ: $0$ и $-2$.

Случай $β≠0,γ≠0$

Уравнение тогда будет иметь вид

$αx^2+βx+γ=0$

Преобразуем левую часть так, чтобы можно было использовать формулу суммы квадрата

$αx^2+\frac{2\sqrt{α} β}{2\sqrt{α}} x+\frac{β}{4α^2}-\frac{β}{4α^2}+γ=0$

$(\sqrt{α}x+\frac{β}{2\sqrt{α}})^2-\frac{β}{4α^2}+γ=0$

$(\sqrt{α}x+\frac{β}{2\sqrt{α}})^2=\frac{β}{4α^2}-γ$

Сделаем замену: $\sqrt{α}x+\frac{β}{2\sqrt{α}}=y$. Тогда

$y^2=\frac{β}{4α^2}-γ$

Здесь возможны три случая:

  1. $\frac{β}{4α^2}>γ$

    Тогда уравнение имеет следующие два корня:

    $y=±\sqrt{\frac{β}{4α^2}-γ}$

    $\sqrt{α} x+\frac{β}{2\sqrt{α}}=±\sqrt{\frac{β}{4α^2}-γ}$

    $x=\frac{±\sqrt{\frac{β}{4α^2}-γ}-\frac{β}{2\sqrt{α}}}{\sqrt{α}}$

  2. $\frac{β}{4α^2}=γ$

    Тогда

    $y^2=0$

    $\sqrt{α}x+\frac{β}{2\sqrt{α}}=0$

    $x=-\frac{β}{2α}$

  3. $\frac{β}{4α^2}

    В этом случае $y^2

Пример 3

Решить

$\sqrt{7} x^2+8\sqrt[4]{7} x+17=0$

Решение.

Преобразуем левую часть так, чтобы можно было использовать формулу суммы квадрата

$\sqrt{7} x^2+8\sqrt[4]{7} x+16+1=0$

$(\sqrt[4]{7} x+4)^2=-1

Ответ: корней нет.

Пример системы нелинейных уравнений.

Приведем теперь пример нелинейной системы уравнений. Систем нелинейных уравнений можно выделить огромное количество. Также часто встречаются смешанные системы. Мы же здесь приведем систему, которая также содержит квадратные уравнения.

Пример 4

Решить

$\cases{x^2+4x+4=0,\\3x^2+6=0.}$

Решение.

Решая первое будем получать:

$(x+2)^2=0$

$x=-2$

Второе уравнение из задачи 2 имеет корни $0$ и$-2$.

Запишем общий ответ.

Ответ: $-2$.