Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис
Все предметы / Математика / Подобные треугольники / Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике
Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Признак подобия прямоугольных треугольников

Введем для начала признак подобия прямоугольных треугольников.

Теорема 1

Признак подобия прямоугольных треугольников: два прямоугольных треугольника подобны тогда, когда у них есть по одному равному острому углу (рис. 1).

Подобные прямоугольные треугольники

Рисунок 1. Подобные прямоугольные треугольники

Доказательство.

Пусть нам дано, что $\angle B=\angle B_1$. Так как треугольники прямоугольные, то $\angle A=\angle A_1={90}^0$. Следовательно, они подобны по первому признаку подобия треугольников.

Теорема доказана.

Теорема о высоте в прямоугольном треугольнике

Теорема 2

Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику.

Готовые работы на аналогичную тему

Доказательство.

Пусть нам дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Проведем высоту $CD$ (рис. 2).

Иллюстрация теоремы 2

Рисунок 2. Иллюстрация теоремы 2

Докажем, что треугольники $ACD$ и $BCD$ подобны треугольнику $ABC$ и что треугольники $ACD$ и $BCD$ подобны между собой.

  1. Так как $\angle ADC={90}^0$, то треугольник $ACD$ прямоугольный. У треугольников $ACD$ и $ABC$ угол $A$ общий, следовательно, по теореме 1, треугольники $ACD$ и $ABC$ подобны.

  2. Так как $\angle BDC={90}^0$, то треугольник $BCD$ прямоугольный. У треугольников $BCD$ и $ABC$ угол $B$ общий, следовательно, по теореме 1, треугольники $BCD$ и $ABC$ подобны.

  3. Рассмотрим теперь треугольники $ACD$ и $BCD$

    \[\angle A={90}^0-\angle ACD\] \[\angle BCD={90}^0-\angle ACD=\angle A\]

    Следовательно, по теореме 1, треугольники $ACD$ и $BCD$ подобны.

Теорема доказана.

Среднее пропорциональное

Определение 1

Отрезок $x$ называется средним пропорциональным или средним геометрическим дл отрезков $a$ и $b$, если выполняется следующее равенство

\[x=\sqrt{ab}\]
Теорема 3

Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые высота делит гипотенузу данного треугольника.

Доказательство.

В доказательстве теоремы будем пользоваться обозначениями из рисунка 2.

По теореме 2, имеем, что треугольники $ACD$ и $BCD$ подобны, следовательно

Теорема доказана.

Теорема 4

Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключенным между катетом и высотой, проведенной из вершины угла.

Доказательство.

В доказательстве теоремы будем пользоваться обозначениями из рисунка 2.

По теореме 2, имеем, что треугольники $ACD$ и $ABC$ подобны, следовательно

Теорема доказана.

Примеры задач на использование пропорциональных отрезков в прямоугольном треугольнике

Пример 1

Катеты прямоугольного треугольника $ABC$ с прямым углом $C$ относятся как $2:3$, а гипотенуза равна $39$ см. Найти отрезки, на которые высота $CD$ делит гипотенузу данного треугольника.

Решение.

Изобразим условие на рисунке:



Рисунок 3.

По теореме 4, с одной стороны, получим

\[AC=\sqrt{AB\cdot AD}\]

А с другой стороны, получим

\[BC=\sqrt{AB\cdot BD}\]

Тогда

\[\frac{AC}{BC}=\frac{\sqrt{AB\cdot AD}}{\sqrt{AB\cdot BD}}=\sqrt{\frac{AD}{BD}}=\frac{2}{3}\]

Следовательно

\[\frac{AD}{BD}=\frac{4}{9}\] \[AD=\frac{4}{9}BD\]

Так как $AD+BD=AB=39$, то

\[\frac{4}{9}BD+BD=39\] \[13BD=39\cdot 9\] \[BD=27\] \[\ AD=12\]

Ответ: $12$ и $27$.