Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Все предметы / Математика / Подобные треугольники / Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Признак подобия прямоугольных треугольников

Введем для начала признак подобия прямоугольных треугольников.

Теорема 1

Признак подобия прямоугольных треугольников: два прямоугольных треугольника подобны тогда, когда у них есть по одному равному острому углу (рис. 1).

Подобные прямоугольные треугольники

Рисунок 1. Подобные прямоугольные треугольники

Доказательство.

Пусть нам дано, что $\angle B=\angle B_1$. Так как треугольники прямоугольные, то $\angle A=\angle A_1={90}^0$. Следовательно, они подобны по первому признаку подобия треугольников.

Теорема доказана.

Теорема о высоте в прямоугольном треугольнике

Теорема 2

Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику.

Доказательство.

Пусть нам дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Проведем высоту $CD$ (рис. 2).

Иллюстрация теоремы 2

Рисунок 2. Иллюстрация теоремы 2

Докажем, что треугольники $ACD$ и $BCD$ подобны треугольнику $ABC$ и что треугольники $ACD$ и $BCD$ подобны между собой.

  1. Так как $\angle ADC={90}^0$, то треугольник $ACD$ прямоугольный. У треугольников $ACD$ и $ABC$ угол $A$ общий, следовательно, по теореме 1, треугольники $ACD$ и $ABC$ подобны.

  2. Так как $\angle BDC={90}^0$, то треугольник $BCD$ прямоугольный. У треугольников $BCD$ и $ABC$ угол $B$ общий, следовательно, по теореме 1, треугольники $BCD$ и $ABC$ подобны.

  3. Рассмотрим теперь треугольники $ACD$ и $BCD$

    \[\angle A={90}^0-\angle ACD\] \[\angle BCD={90}^0-\angle ACD=\angle A\]

    Следовательно, по теореме 1, треугольники $ACD$ и $BCD$ подобны.

Готовые работы на аналогичную тему

Теорема доказана.

Среднее пропорциональное

Определение 1

Отрезок $x$ называется средним пропорциональным или средним геометрическим дл отрезков $a$ и $b$, если выполняется следующее равенство

\[x=\sqrt{ab}\]
Теорема 3

Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые высота делит гипотенузу данного треугольника.

Доказательство.

В доказательстве теоремы будем пользоваться обозначениями из рисунка 2.

По теореме 2, имеем, что треугольники $ACD$ и $BCD$ подобны, следовательно

Теорема доказана.

Теорема 4

Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключенным между катетом и высотой, проведенной из вершины угла.

Доказательство.

В доказательстве теоремы будем пользоваться обозначениями из рисунка 2.

По теореме 2, имеем, что треугольники $ACD$ и $ABC$ подобны, следовательно

Теорема доказана.

Примеры задач на использование пропорциональных отрезков в прямоугольном треугольнике

Пример 1

Катеты прямоугольного треугольника $ABC$ с прямым углом $C$ относятся как $2:3$, а гипотенуза равна $39$ см. Найти отрезки, на которые высота $CD$ делит гипотенузу данного треугольника.

Решение.

Изобразим условие на рисунке:



Рисунок 3.

По теореме 4, с одной стороны, получим

\[AC=\sqrt{AB\cdot AD}\]

А с другой стороны, получим

\[BC=\sqrt{AB\cdot BD}\]

Тогда

\[\frac{AC}{BC}=\frac{\sqrt{AB\cdot AD}}{\sqrt{AB\cdot BD}}=\sqrt{\frac{AD}{BD}}=\frac{2}{3}\]

Следовательно

\[\frac{AD}{BD}=\frac{4}{9}\] \[AD=\frac{4}{9}BD\]

Так как $AD+BD=AB=39$, то

\[\frac{4}{9}BD+BD=39\] \[13BD=39\cdot 9\] \[BD=27\] \[\ AD=12\]

Ответ: $12$ и $27$.

Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи

Автор статьи

Щебетун Виктор

Эксперт по предмету «Математика»

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис