Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Ограниченные последовательности

Все предметы / Математика / Предел / Ограниченные последовательности
Определение

Последовательность \{an\}, n$\ \in $ N, называется ограниченной, если существуют числа a и b, при которых для каждого номера последовательности n справедливо неравенство (рис.1):

\[a\le a_{n} \le b\begin{array}{cc} {} & {a\ne b} \end{array}\]

Например, последовательность вида:

\[a_{n} =\frac{1}{n^{2} } \] \[\frac{1}{n^{2} } =\frac{1}{1^{2} } ,\frac{1}{2^{2} } ,\frac{1}{3^{2} } ,\frac{1}{4^{2} } ...=1,\frac{1}{4} ,\frac{1}{9} ,\frac{1}{16} ...\]

Ограничена, т.к. $0\le a_{n} \le 1$

Определение 2

Последовательность $a_n$, n$\ \in $ N, называется ограниченной сверху, если существует b, при котором для каждого номера последовательности n справедливо неравенство:

\[a_{n} \le b\]

Например, последовательность вида:

\[a_{n} =100-n^{2} \] \[100-n^{2} =100-1,100-4,...=99,96...\]

Ограничена сверху, т.к. $a_{n} \le 99$

Ограничение последовательности

Рисунок 1. Ограничение последовательности

Определение 3

Последовательность $a_n$, n$\ \in $ N, называется ограниченной снизу, если существует а, при котором для каждого номера последовательности n справедливо неравенство:

\[a_{n} \ge a\]

Например, последовательность вида:

\[a_{n} =n^{3} -2\] \[n^{3} -2=-1,6,25...\]

Ограничена снизу, т.к. $a_{n} \ge -1$

Числовые последовательности могут быть неограниченными или постоянными.

Пример 1

Определить вид последовательности:

\[a_{n} =\left(-1\right)^{n} \cdot n\]

Решение:

\[\left(-1\right)^{n} \cdot n=-1,2,-3,4...\]

Не является ограниченной, т.к. для любых a и b можно найти большее или меньшее значение.

Пример 2

Определить вид последовательности:

\[a_{n} =4\]

Решение:

\[4=4,4,4...\]

Поскольку все члены последовательности равны, числовая последовательность -- постоянная.

Пример 3

Определить ограниченность последовательности

\[a_{n} =\frac{5n-2}{n+1} \]

Решение:

\[a_{n} =\frac{5n-2}{n+1} =5-\frac{7}{n+1} \] \[a_{n} =\frac{3}{2} ,\frac{7}{3} ,\frac{13}{4} ...\]

Вывод: Функция ограничена и сверху, и снизу, поскольку $a_{n} \ge \frac{3}{2} $ и $a_{n}

Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи

Автор статьи

Евгений Николаевич Беляев

Эксперт по предмету «Математика»

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис