Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Вычисление криволинейного интеграла

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис
Все предметы / Математика / Криволинейный интеграл / Вычисление криволинейного интеграла
Вычисление криволинейного интеграла

Криволинейные интегралы являются обобщением определенного интеграла в случае, когда область интегрирования это некоторая кривая.

Криволинейный интеграл первого рода

Криволинейный интеграл

Пускай на прямой AB задано функцию $f\left(x,y\right).$ Разбив эту кривую на n частей и выбрав на каждой из частей произвольную точку $M_k\left({\xi }_k,{\eta }_k\right),$ найдем значение $f\left({\xi }_k,{\eta }_k\right),$ и составим интегральную сумму

$I_n=\sum\limits^n_{k=1}{f\left({\xi }_k,{\eta }_k\right)\vartriangle l_k,}$где $\vartriangle l_k-$длина k-ой части кривой.

Помощь со студенческой работой на тему
Вычисление криволинейного интеграла

Найдем

Определение

Если при $\lambda \to 0\ \left(\lambda ={\mathop{max}_{k} \left\{\vartriangle l_k\right\}\ }\right)$ эта граница существует и не зависит от способа разбития кривой AB на части и выбора точки $M_k$, то его называют криволинейным интегралом первого рода от функции $f\left(x,y\right)$ по кривой AB и обозначают

\[\int\limits_{AB}{f\left(x,y\right)dl.}\]

Значит,

\[\int\limits_{AB}{f\left(x,y\right)dl=}{\mathop{lim}_{\lambda \to 0} \sum\limits^n_{k=1}{f\left({\xi }_k,{\eta }_k\right)\vartriangle l_k}\ }\]

В этом случае функцию $f\left(x,y\right)$ называют интегрированной вдоль кривой AB, а кривую AB -- контуром интегрирования, A -- начальная, а B -- конечной точками интегрирования.

Свойства интеграла первого рода:

  1. $\int\nolimits_{AB}{f\left(x,y\right)dl=\int\nolimits_{BA}{f\left(x,y\right)dl.}}$
  2. Если $f\left(x,y\right)\ge 0$ на отрезке AB, то криволинейный интеграл $\int\limits_{AB}{f\left(x,y\right)dl}$ не отрицательный на отрезке AB.
  3. $\int\nolimits_{AB}{C\ f\left(x,y\right)dl=C\ \int\nolimits_{AB}{f\left(x,y\right)dl.}}$
  4. $\int\nolimits_{AB}{\left(f\left(x,y\right)\mp g\left(x,y\right)\right)dl=\int\nolimits_{AB}{f\left(x,y\right)dl\mp \int\nolimits_{AB}{g\left(x,y\right)dl.}}}$
  5. Если кривую AB разбить точкой C на части, то \[\int\limits_{AB}{f\left(x,y\right)dl=\int\limits_{AС}{f\left(x,y\right)dl+\int\limits_{СB}{f\left(x,y\right)dl.\ }}}\]

Криволинейный интеграл второго рода

Пускай на плоской кривой AB задано непрерывную функцию $f\left(x,y\right).$ Разобьем кривую AB точками $A=A0, A1, A2, \dots , An=B$ на $n$ частей. На каждом промежутке $Ak-1Ak$ выберем произвольную точку $M_k\left({\xi }_k,{\eta }_k\right)$ и составим сумму $\sum\limits^n_{k=1}{f\left({\xi }_k,{\eta }_k\right)\vartriangle x_k},$ где $\vartriangle x_k-$проекция вектора $\overline{A_{k-1}A_k}$ на ось Ox. Эту сумму называют интегральной. Найдем ее границу:

\[{\mathop{lim}_{\lambda \to 0} \sum\limits^n_{k=1}{f\left({\xi }_k,{\eta }_k\right)\vartriangle x_k,\ \ \ \ \lambda ={\mathop{max}_{k} \left\{\vartriangle l_k\right\}.\ }}\ }\]
Определение

Если при $\lambda \to 0\ \left(\lambda ={\mathop{max}_{k} \left\{\vartriangle l_k\right\}\ }\right)$ граница интегрированной суммы существует и не зависит от способа разбития кривой AB на части и от выбора точки Mk , то его называют криволинейным интегралом от функции $f\left(x,y\right)$ по абсциссе $x$ вдоль кривой AB и обозначают $\int\nolimits_{AB}{f\left(x,y\right)dx.}$

Таким образом

\[\int\limits_{AB}{f\left(x,y\right)dx={\mathop{lim}_{\lambda \to 0} \sum\limits^n_{k=1}{f\left({\xi }_k,{\eta }_k\right)\vartriangle x_k}\ }.}\]

Свойства криволинейного интеграла второго рода:

  1. $\int\nolimits_{AB}{f\left(x,y\right)dx=-\int\nolimits_{BA}{f\left(x,y\right)dx.}}$
  2. $\int\nolimits_{AB}{\left(f\left(x,y\right)\mp g\left(x,y\right)\right)dx=\int\nolimits_{AB}{f\left(x,y\right)dx\mp \int\nolimits_{AB}{g\left(x,y\right)dx.}}}$
  3. $\int\nolimits_{AB}{C\ f\left(x,y\right)dx=C\ \int\nolimits_{AB}{f\left(x,y\right)dx.}}$
  4. $\int\nolimits_{AB}{f\left(x,y\right)dx=\int\nolimits_{AС}{f\left(x,y\right)dx+\int\nolimits_{СB}{f\left(x,y\right)dx.\ }}}$
  5. $\int\nolimits_{AB}{f\left(x,y\right)dx=0,}$ когда $AB\parallel OY; \ \ \int\nolimits_{AB}{f\left(x,y\right)dy=0,}$ когда $AB\parallel OX$

Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.

Теорема 1

Для того, что б в связной области D, криволинейный интеграл $\int\limits_{AB}{P\left(x,y\right)dx+Q\left(x,y\right)dy}$ независим от пути AB. Необходимо и достаточно, что бы интеграл по замкнутому контуру в этой области равнялся нулю:

\[\int\limits_{AB}{P\left(x,y\right)dx+Q\left(x,y\right)dy}=0.\]
Пример

Вычислить интеграл

$I=\ \int\limits_{AB}{2xy\ dx+x^2dy}$ от т. А(0,0) до точки В(1,1).

Криволинейный интеграл

  1. Найдем по прямой$\ y=x$, $dy=dx$
  2. \[I=\ \int\limits^1_0{2xx\ dx+x^2dx=}\int\limits^1_0{3x^2dx=}{\left.\frac{3x^3}{3}\right|}^1_0=1.\]
  3. Найдем по ветке параболы $y=x^2$, $dy=2x\ dx$
  4. \[I=\ \int\limits^1_0{2x^3\ dx+{2x}^3dx=}\int\limits^1_0{4x^3dx=}{\left.\frac{4x^4}{4}\right|}^1_0=1.\]
  5. Найдем по контуру ОСВ:
  6. \[I=\int\limits_{OCB}{P\ dx+Qdy=\int\limits_{OCB}{2xy\ dx+x^2dy=\int\limits_{OC}{\left(2xy\ dx+x^2dy\right)}+}}+\int\limits_{CB}{\left(2xy\ dx+x^2dy\right)}\]
  7. Найдем для ОС -- $y=0$, $dy=0$ и подставим в формулу:
  8. \[\int\limits_{OC}{2xy\ dx+x^2dy=0}\]
  9. Найдем для СВ -- $x=1,\ \ dx=0$ и подставим в формулу:
  10. \[\int\limits_{CB}{2xy\ dx+x^2dy=1\int\limits^1_0{dy}=1}.\]

Пример хорошо показывает независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования. В данном примере мы выбрали три разных пути, и при вычислении интеграла во всех случаях получили один и тот же ответ.

Для работы с криволинейными интегралами не менее важной есть следующая теорема.

Теорема 2

Если в односвязной области D функции $P\left(x,y\right)$ и $Q\left(x,y\right)$ и их производные $\frac{\partial P}{\partial y}$ и $\frac{\partial Q}{\partial x}$ непрерывные, то для того что бы интеграл по замкнутому контуру в этой области был равен нулю необходимо и достаточно что бы выполнялось равенство:

$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$во всех точках этой области.

Связь между криволинейным интегралом первого и второго рода

С помощью определения интегралов первого и второго рода и определения интеграла, очень просто показать связь между криволинейным интегралом первого и криволинейным интегралом второго рода.

От криволинейного интеграла второго рода очень просто перейти до криволинейного интеграла первого рода. Переход между ними выражается формулой:

\[\int\limits_{AB}{P\left(x,y\right)dx+Q\left(x,y\right)dy}=\int\limits_{AB}{Pdl{cos \alpha \ }+Qdl{cos \beta \ }}\]
comments powered by HyperComments