Интегральное исчисление очень часто используется для различных прикладных целей, и одним из таких применений является вычисление площадей плоских фигур.
Как следует из определения интеграла, площадь фигуры, расположенной над осью абсцисс и иначе называемой криволинейной трапецией, вычисляется как её определённый интеграл:
$S=\int_a^b f(x)dx$
Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную функцией $f(x)≥0$, а также прямыми $x=a$, $x=b$ и $y=0$.
Рисунок 1. Криволинейная трапеция
Статья: Площадь фигуры, ограниченной линиями
Для того чтобы найти площадь всей трапеции, рассмотрим произвольное значение $x$, принадлежащее отрезку $[a;b]$, при этом площадь всей трапеции будем рассматривать как функцию от аргумента $x$ — $S(x)$.
Далее осуществим приращение $∆x=dx(x+∆x)$ такое, что $∆x$ принадлежит рассматриваемому отрезку $[a;b]$. Площадь также получит приращение, равное $∆S$, которое можно рассматривать как элементарный сегмент трапеции.
При $x \to 0$ $dS$ является частью, вносящей главный вклад в приращение функции $∆S$, эта часть равна площади элементарного прямоугольника, отмеченного на рисунке штриховкой.
Площадь этого прямоугольника равна:
$dS=y \cdot dx$.
Проинтегрируем это выражение, и получим:
$S=\int_a^b ydx$
Также возможны случаи, когда необходимо найти площадь фигуры, расположенной под осью абсцисс, тогда эта формула примет следующий вид:
$S=-\int_a^b ydx$
Площадь фигуры, ограниченной двумя кривыми $y=f_1(x)$ и $y=f_2(x)$ b и двумя прямыми $x=a$ и $x=b$ находится по следующей формуле:
$S=\int_a^b f_2(x)-f_1(x))dx$, где $f_2(x)≥f_1(x)$.
В случае же если исследуемая фигура имеет более сложную форму, то для вычисления её площади прибегают к разбиению отрезка на несколько частей и затем последующему сложению полученных площадей. Это возможно благодаря такому свойству площади, как аддитивность.
Вычислить площадь фигуры ограниченной указанными линиями на отрезке $[0;3]$: осью абсцисс и функцией $y=x^2-2x$.
Решение:
Воспользуемся вышеизложенной теорией для решения данной задачи:
$S=-\int_0^2 (x^2-2x)dx + -\int_2^3 (x^2-2x)dx= -\frac{x^3}{3}|^2_0 + x^2|^2_0+ \frac{x^3}{3}|^3_2 - x^2|^3_2=2\frac{2}{3}$
Площадь данной фигуры равна $2\frac{2}{3}$ ед.
