Смысл понятий радиуса, круга и центра кривизны
В технических приложениях часто оказывается удобным использовать окружности для приближенной замены кривой в окрестностях рассматриваемых точек. Это существенно упрощает решение целого ряда задач за счет применения более удобных выражений.
Наиболее употребительными характеристиками любой кривой являются касательная и нормаль. Касательная -- предельное положение секущей $MN$ при неограниченном приближении точки $N$ к точке $M$ вдоль кривой. Нормаль -- прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно касательной.
Уравнение касательной в точке $M\left(x_{0} ,y_{0} \right)$ к кривой $y=f\left(x\right)$ имет вид $y-y_{0} =y'\left(x_{0} \right)\cdot \left(x-x_{0} \right)$, уравнение нормали $y-y_{0} =-\frac{1}{y'\left(x_{0} \right)} \cdot \left(x-x_{0} \right)$.
Записать уравнения касательной и нормали к кривой $y=3\cdot x^{2} -x+2$ в заданной точке $x_{0} =1$.
Значение функции в заданной точке: $y_{0} =y\left(x_{0} \right)=y\left(1\right)=3\cdot 1^{2} -1+2=4$.
Значение производной в заданной точке:
\[y'=\left(3\cdot x^{2} -x+2\right)^{{'} } =6\cdot x-1; y'\left(x_{0} \right)=y'\left(1\right)=6\cdot 1-1=5.\]Уравнение касательной: $y-4=5\cdot \left(x-1\right)$ или $5\cdot x-y-1=0$.
Уравнение нормали: $y-4=-\frac{1}{5} \cdot \left(x-1\right)$ или $x+5\cdot y-21=0$.
Радиус кривизны -- это параметр кривой, значение которого обратно значению кривизны $R=\frac{1}{K} $. Следовательно, это такая же переменная величина, как и кривизна.
Если в данной точке $M$ построить нормаль к кривой и отложить на ней в сторону вогнутости кривой отрезок, равный по длине радиусу кривизны кривой в этой точке, то получим точку -- центр кривизны. Окружность с центром в полученной точке и радиусом, равным радиусу кривизны -- это круг кривизны. Так как данная кривая и её круг кривизны касаются в данной точке, то они имеют в данной точке общую касательную. Кроме того, значения кривизны кривой и круга кривизны в данной точке совпадают.
Важным свойством круга кривизны является то, что он является соприкасающимся кругом, то есть предельным положением круга, проходящего через три точки кривой, стремящимся к совпадению в данной.
Если некоторая точка перемещается вдоль кривой, то и соответствующий ей центр кривизны также описывает некоторую кривую. Геометрическое место центров кривизны данной кривой называется её эволютой. При этом данная кривая по отношению к своей эволюте называется её эвольвентой.
Вычисление радиуса и определение центра круга кривизны
Формулы для радиуса кривизны получить легко, если известны формулы для вычисления кривизны кривой.
При произвольном параметрическом задании кривой $x=x\left(t\right)$ и $y=y\left(t\right)$ имеем $R=\frac{\sqrt{\left(\left(x'_{t} \right)^{2} +\left(y'_{t} \right)^{2} \right)^{3} } }{y''_{tt} \cdot x'_{t} -x''_{tt} \cdot y'_{t} } $.
Если кривая задана в явном виде $y=f\left(x\right)$, то $R=\frac{\sqrt{\left(1+\left(y'\right)^{2} \right)^{3} } }{y''} $.
Если кривая задана в полярных координатах $\rho =\rho \left(\phi \right)$, то $R=\frac{\sqrt{\left(\rho ^{2} +\left(\rho '_{\phi } \right)^{2} \right)^{3} } }{\rho ^{2} +2\cdot \left(\rho '_{\phi } \right)^{2} -\rho \cdot \rho ''_{\phi \phi } } $.
Найти радиус кривизны экспоненты $y=e^{x} $ при $x=0$.
Находим производные: $y'=e^{x} $; $y''=e^{x} $.
По формуле для радиуса кривизны получаем:
\[R=\frac{\sqrt{\left(1+\left(y'\right)^{2} \right)^{3} } }{y''} =\frac{\sqrt{\left(1+\left(e^{x} \right)^{2} \right)^{3} } }{e^{x} } =\frac{\sqrt{\left(1+e^{2\cdot x} \right)^{3} } }{e^{x} } .\]Вычисляем радиус кривизны экспоненты при $x=0$:
\[R\left(0\right)=\frac{\sqrt{\left(1+e^{2\cdot 0} \right)^{3} } }{e^{0} } =2\cdot \sqrt{2} . \]Найти радиус кривизны кардиоиды $\rho =1+\cos \phi $.
Находим производные: $\rho '=-\sin \phi $; $\rho ''=-\cos \phi $.
Вычисляем:
\[\rho ^{2} +\rho '^{2} =\left(1+\cos \phi \right)^{2} +\left(-\sin \phi \right)^{2} =2\cdot \left(1+\cos \phi \right);\] \[\rho ^{2} +2\cdot \rho '^{2} -\rho \cdot \rho ''=\left(1+\cos \phi \right)^{2} +2\cdot \left(-\sin \phi \right)^{2} -\left(1+\cos \phi \right)\cdot \left(-\cos \phi \right)=\] \[=3\cdot \left(1+\cos \phi \right).\]По формуле для радиуса кривизны получаем:
\[R=\frac{\sqrt{\left(\rho ^{2} +\left(\rho '_{\phi } \right)^{2} \right)^{3} } }{\rho ^{2} +2\cdot \left(\rho '_{\phi } \right)^{2} -\rho \cdot \rho ''_{\phi \phi } } =\frac{\sqrt{\left(2\cdot \left(1+\cos \phi \right)\right)^{3} } }{3\cdot \left(1+\cos \phi \right)} =\frac{2}{3} \cdot \sqrt{2\cdot \left(1+\cos \phi \right)} =\frac{4}{3} \cdot \cos \frac{\phi }{2} .\]Найдем координаты центра кривизны $P\left(x_{C} ;y_{C} \right)$ кривой $y=f\left(x\right)$.
Координаты центра кривизны для точки $M\left(x;y\right)$ удовлетворяют уравнению нормали $y_{C} -y=-\frac{1}{y'\left(x\right)} \cdot \left(x_{C} -x\right)$.
Уравнение круга кривизны: $\left(x-x_{C} \right)^{2} +\left(y-y_{C} \right)^{2} =R^{2} $.
Решив систему $\left\{\begin{array}{c} {y_{C} -y=-\frac{1}{y'\left(x\right)} \cdot \left(x_{C} -x\right)} \\ {\left(x-x_{C} \right)^{2} +\left(y-y_{C} \right)^{2} =R^{2} } \end{array}\right. $, получим искомые координаты центра кривизны: $\left\{\begin{array}{c} {x_{C} =x-\frac{y'\cdot \left(1+y'^{2} \right)}{y''} } \\ {y_{C} =y+\frac{1+y'^{2} }{y''} } \end{array}\right. $.
Координаты центра кривизны по существу являются параметрическими уравнения эволюты.
Найти эволюту параболы $y=x^{2} $. Результаты представить графически.
Находим производные: $y'=2\cdot x$; $y''=2$.
По формулам $\left\{\begin{array}{c} {x_{C} =x-\frac{y'\cdot \left(1+y'^{2} \right)}{y''} } \\ {y_{C} =y+\frac{1+y'^{2} }{y''} } \end{array}\right. $ находим координаты центра кривизны для произвольной точки $M\left(x;y\right)$.
Получаем:
\[x_{C} =x-\frac{2\cdot x\cdot \left(1+\left(2\cdot x\right)^{2} \right)}{2} =-4\cdot x^{3} ;\] \[y_{C} =y+\frac{1+\left(2\cdot x\right)^{2} }{2} =3\cdot x^{2} +\frac{1}{2} .\]Полученные выражения фактически представляют собой параметрические уравнения эволюты, в которых $x$ является параметром. Если исключить параметр $x$ из этих уравнений, то может быть получено уравнение вида $F\left(x_{C} ;y_{C} \right)=0$, которое непосредственно связывает координаты эволюты.
Совмещенный график эвольвенты $y=x^{2} $ и её эволюты:
На графике синей линией изображена парабола $y=x^{2} $, а красной линией -- её эволюта. Эволюта представляет собой полукубическую параболу.
