Смысл понятий радиуса, круга и центра кривизны
В технических приложениях часто оказывается удобным использовать окружности для приближенной замены кривой в окрестностях рассматриваемых точек. Это существенно упрощает решение целого ряда задач за счет применения более удобных выражений.
Наиболее употребительными характеристиками любой кривой являются касательная и нормаль. Касательная -- предельное положение секущей MN при неограниченном приближении точки N к точке M вдоль кривой. Нормаль -- прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно касательной.
Уравнение касательной в точке M(x0,y0) к кривой y=f(x) имет вид y−y0=y′(x0)⋅(x−x0), уравнение нормали y−y0=−1y′(x0)⋅(x−x0).
Записать уравнения касательной и нормали к кривой y=3⋅x2−x+2 в заданной точке x0=1.
Значение функции в заданной точке: y0=y(x0)=y(1)=3⋅12−1+2=4.
Значение производной в заданной точке:
y′=(3⋅x2−x+2)′=6⋅x−1;y′(x0)=y′(1)=6⋅1−1=5.Уравнение касательной: y−4=5⋅(x−1) или 5⋅x−y−1=0.
Уравнение нормали: y−4=−15⋅(x−1) или x+5⋅y−21=0.
Радиус кривизны -- это параметр кривой, значение которого обратно значению кривизны R=1K. Следовательно, это такая же переменная величина, как и кривизна.
Если в данной точке M построить нормаль к кривой и отложить на ней в сторону вогнутости кривой отрезок, равный по длине радиусу кривизны кривой в этой точке, то получим точку -- центр кривизны. Окружность с центром в полученной точке и радиусом, равным радиусу кривизны -- это круг кривизны. Так как данная кривая и её круг кривизны касаются в данной точке, то они имеют в данной точке общую касательную. Кроме того, значения кривизны кривой и круга кривизны в данной точке совпадают.
Важным свойством круга кривизны является то, что он является соприкасающимся кругом, то есть предельным положением круга, проходящего через три точки кривой, стремящимся к совпадению в данной.
Если некоторая точка перемещается вдоль кривой, то и соответствующий ей центр кривизны также описывает некоторую кривую. Геометрическое место центров кривизны данной кривой называется её эволютой. При этом данная кривая по отношению к своей эволюте называется её эвольвентой.
Вычисление радиуса и определение центра круга кривизны
Формулы для радиуса кривизны получить легко, если известны формулы для вычисления кривизны кривой.
При произвольном параметрическом задании кривой x=x(t) и y=y(t) имеем R=√((x′t)2+(y′t)2)3ytt″.
Если кривая задана в явном виде y=f\left(x\right), то R=\frac{\sqrt{\left(1+\left(y'\right)^{2} \right)^{3} } }{y''} .
Если кривая задана в полярных координатах \rho =\rho \left(\phi \right), то R=\frac{\sqrt{\left(\rho ^{2} +\left(\rho '_{\phi } \right)^{2} \right)^{3} } }{\rho ^{2} +2\cdot \left(\rho '_{\phi } \right)^{2} -\rho \cdot \rho ''_{\phi \phi } } .
Найти радиус кривизны экспоненты y=e^{x} при x=0.
Находим производные: y'=e^{x} ; y''=e^{x} .
По формуле для радиуса кривизны получаем:
R=\frac{\sqrt{\left(1+\left(y'\right)^{2} \right)^{3} } }{y''} =\frac{\sqrt{\left(1+\left(e^{x} \right)^{2} \right)^{3} } }{e^{x} } =\frac{\sqrt{\left(1+e^{2\cdot x} \right)^{3} } }{e^{x} } .Вычисляем радиус кривизны экспоненты при x=0:
R\left(0\right)=\frac{\sqrt{\left(1+e^{2\cdot 0} \right)^{3} } }{e^{0} } =2\cdot \sqrt{2} .Найти радиус кривизны кардиоиды \rho =1+\cos \phi .
Находим производные: \rho '=-\sin \phi ; \rho ''=-\cos \phi .
Вычисляем:
\rho ^{2} +\rho '^{2} =\left(1+\cos \phi \right)^{2} +\left(-\sin \phi \right)^{2} =2\cdot \left(1+\cos \phi \right); \rho ^{2} +2\cdot \rho '^{2} -\rho \cdot \rho ''=\left(1+\cos \phi \right)^{2} +2\cdot \left(-\sin \phi \right)^{2} -\left(1+\cos \phi \right)\cdot \left(-\cos \phi \right)= =3\cdot \left(1+\cos \phi \right).По формуле для радиуса кривизны получаем:
R=\frac{\sqrt{\left(\rho ^{2} +\left(\rho '_{\phi } \right)^{2} \right)^{3} } }{\rho ^{2} +2\cdot \left(\rho '_{\phi } \right)^{2} -\rho \cdot \rho ''_{\phi \phi } } =\frac{\sqrt{\left(2\cdot \left(1+\cos \phi \right)\right)^{3} } }{3\cdot \left(1+\cos \phi \right)} =\frac{2}{3} \cdot \sqrt{2\cdot \left(1+\cos \phi \right)} =\frac{4}{3} \cdot \cos \frac{\phi }{2} .Найдем координаты центра кривизны P\left(x_{C} ;y_{C} \right) кривой y=f\left(x\right).
Координаты центра кривизны для точки M\left(x;y\right) удовлетворяют уравнению нормали y_{C} -y=-\frac{1}{y'\left(x\right)} \cdot \left(x_{C} -x\right).
Уравнение круга кривизны: \left(x-x_{C} \right)^{2} +\left(y-y_{C} \right)^{2} =R^{2} .
Решив систему \left\{\begin{array}{c} {y_{C} -y=-\frac{1}{y'\left(x\right)} \cdot \left(x_{C} -x\right)} \\ {\left(x-x_{C} \right)^{2} +\left(y-y_{C} \right)^{2} =R^{2} } \end{array}\right. , получим искомые координаты центра кривизны: \left\{\begin{array}{c} {x_{C} =x-\frac{y'\cdot \left(1+y'^{2} \right)}{y''} } \\ {y_{C} =y+\frac{1+y'^{2} }{y''} } \end{array}\right. .
Координаты центра кривизны по существу являются параметрическими уравнения эволюты.
Найти эволюту параболы y=x^{2} . Результаты представить графически.
Находим производные: y'=2\cdot x; y''=2.
По формулам \left\{\begin{array}{c} {x_{C} =x-\frac{y'\cdot \left(1+y'^{2} \right)}{y''} } \\ {y_{C} =y+\frac{1+y'^{2} }{y''} } \end{array}\right. находим координаты центра кривизны для произвольной точки M\left(x;y\right).
Получаем:
x_{C} =x-\frac{2\cdot x\cdot \left(1+\left(2\cdot x\right)^{2} \right)}{2} =-4\cdot x^{3} ; y_{C} =y+\frac{1+\left(2\cdot x\right)^{2} }{2} =3\cdot x^{2} +\frac{1}{2} .Полученные выражения фактически представляют собой параметрические уравнения эволюты, в которых x является параметром. Если исключить параметр x из этих уравнений, то может быть получено уравнение вида F\left(x_{C} ;y_{C} \right)=0, которое непосредственно связывает координаты эволюты.
Совмещенный график эвольвенты y=x^{2} и её эволюты:
На графике синей линией изображена парабола y=x^{2} , а красной линией -- её эволюта. Эволюта представляет собой полукубическую параболу.
