Вычисление площади поверхности с помощью двойного интеграла

Замкнутая область $D$ на плоскости определяется пересечением параболы $y=2\cdot x^{2} -16\cdot x+31$ с двумя прямыми в точках $A$ и $B$ при $x_{A} =3$ и $x_{B} =6$ соответственно. Эти прямые, в свою очередь, пересекаются в заданной точхе $C\left(5,9\right)$. С помощью двойного интеграла вычислить площадь области $D$, рассматривая её как правильную в направлении оси $Oy$.

1. Находим координаты точки $A\left(x_{A} ,y_{A} \right)$:

$y_{A} =2\cdot x_{A}^{2} -16\cdot x_{A} +31=2\cdot 3^{2} -16\cdot 3+31=1$. Получаем $A\left(3,1\right)$.

2. Находим координаты точки $B\left(x_{B} ,y_{B} \right)$:

$y_{B} =2\cdot x_{B}^{2} -16\cdot x_{B} +31=2\cdot 6^{2} -16\cdot 6+31=7$. Получаем $B\left(6,7\right)$.

3. Находим уравнение прямой $AC$. Она проходит через точки $A\left(3,1\right)$ и $C\left(5,9\right)$. Её уравнение имеет вид $y=a_{1} \cdot x+b_{1} $. Угловой коэффициент: $a_{1} =\frac{9-1}{5-3} =4$, смещение $b_{1} =1-4\cdot 3=-11$. Окончательно $y=4\cdot x-11$.
4. Находим уравнение прямой $CB$. Она проходит через точки $C\left(5,9\right)$ и $B\left(6,7\right)$. Её уравнение имеет вид $y=a_{2} \cdot x+b_{2} $. Угловой коэффициент: $a_{2} =\frac{7-9}{6-5} =-2$, смещение $b_{2} =9-\left(-2\right)\cdot 5=19$. Окончательно $y=-2\cdot x+19$.
5. Заданная область $D$ является правильной в направлении оси $Oy$. Нижняя граница области образована параболой. Верхняя граница области состоит из двух участков: прямой $AC$ и прямой $CB$. Поэтому область $D$ разбиваем на две подобласти (левую $D_{1} $ и правую $D_{2} $) вертикальной прямой, проходящей через точку $C$.
6. Площади подобластей определяем с помощью двойного интеграла $S=\iint \limits _{D}dx\cdot dy $. При этом двойной интеграл для каждой подобласти будем вычислять с помощью двукратного интеграла $S=\iint \limits _{D}dx\cdot dy =\int \limits _{a}^{b}dx\cdot \int \limits _{\phi _{1} \left(x\right)}^{\phi _{2} \left(x\right)}dy $.
7. Находим площадь $S_{1} $ левой подобласти $D_{1} $, которая слева ограничена прямой $x=3$, справа -- прямой $x=5$, снизу -- параболой $y=2\cdot x^{2} -16\cdot x+31$, сверху -- прямой $AC$, уравнение которой $y=4\cdot x-11$. Таким образом, $a=3$, $b=5$, $\phi _{1} \left(x\right)=2\cdot x^{2} -16\cdot x+31$, $\phi _{2} \left(x\right)=4\cdot x-11$. Для вычисления площади $S_{1} $ левой подобласти $D_{1} $ окончательно получаем интеграл $S_{1} =\int \limits _{3}^{5}dx\cdot \int \limits _{2\cdot x^{2} -16\cdot x+31}^{4\cdot x-11}dy $.
8. Сначала вычисляем внутренний интеграл $I_{1} $, в котором интегрирование выполняется по $y$, а $x$ считается постоянной:
\[I_{1} =\int \limits _{2\cdot x^{2} -16\cdot x+31}^{4\cdot x-11}dy =\left[y\right]_{2\cdot x^{2} -16\cdot x+31}^{4\cdot x-11} =\] \[=\left(4\cdot x-11\right)-\left(2\cdot x^{2} -16\cdot x+31\right)=-2\cdot x^{2} +20\cdot x-42.\]
9. Теперь полученную функцию от $x$ следует проинтегрировать по $x$:
\[S_{1} =\int \limits _{3}^{5}I_{1} \cdot dx =\int \limits _{3}^{5}\left(-2\cdot x^{2} +20\cdot x-42\right)\cdot dx =\] \[=-2\cdot \int \limits _{3}^{5}x^{2} \cdot dx +20\cdot \int \limits _{3}^{5}x\cdot dx -42\cdot \int \limits _{3}^{5}dx =-2\cdot \left[\frac{x^{3} }{3} \right]_{3}^{5} +20\cdot \left[\frac{x^{2} }{2} \right]_{3}^{5} -42\cdot \left[x\right]_{3}^{5} =\] \[=-2\cdot \frac{1}{3} \cdot \left[5^{3} -3^{3} \right]+20\cdot \frac{1}{2} \cdot \left[5^{2} -3^{2} \right]-42\cdot \left[5-3\right]=\] \[=-\frac{2}{3} \cdot 98+10\cdot 16-42\cdot 2\approx 10,667.\]
10. Находим площадь $S_{2} $ правой подобласти $D_{2} $, которая слева ограничена прямой $x=5$, справа -- прямой $x=6$, снизу -- параболой $y=2\cdot x^{2} -16\cdot x+31$, сверху -- прямой $CB$, уравнение которой $y=-2\cdot x+19$. Таким образом, $a=5$, $b=6$, $\phi _{1} \left(x\right)=2\cdot x^{2} -16\cdot x+31$, $\phi _{2} \left(x\right)=-2\cdot x+19$. Для вычисления площади $S_{2} $ правой подобласти $D_{2} $ окончательно получаем интеграл $S_{2} =\int \limits _{5}^{6}dx\cdot \int \limits _{2\cdot x^{2} -16\cdot x+31}^{-2\cdot x+19}dy $.
11. Сначала вычисляем внутренний интеграл $I_{2} $, в котором интегрирование выполняется по $y$, а $x$ считается постоянной:
\[I_{2} =\int \limits _{2\cdot x^{2} -16\cdot x+31}^{-2\cdot x+19}dy =\left[y\right]_{2\cdot x^{2} -16\cdot x+31}^{-2\cdot x+19} =\] \[=\left(-2\cdot x+19\right)-\left(2\cdot x^{2} -16\cdot x+31\right)=-2\cdot x^{2} +14\cdot x-12.\]
12. Теперь интегрируем по $x$ полученную функцию от $x$:
\[S_{2} =\int \limits _{5}^{6}I_{2} \cdot dx =\int \limits _{5}^{6}\left(-2\cdot x^{2} +14\cdot x-12\right)\cdot dx =\] \[=-2\cdot \frac{1}{3} \cdot \left[6^{3} -5^{3} \right]+14\cdot \frac{1}{2} \cdot \left[6^{2} -5^{2} \right]-12\cdot \left[6-5\right]=\] \[=-\frac{2}{3} \cdot 91+7\cdot 11-12\cdot 1\approx 4,333.\]
13. Площадь области $D$ равна $S=S_{1} +S_{2} =10,667+4,333=15$ кв.ед.

На горизонтальной плоскости $xOy$ находится вертикальное цилиндрическое сооружение. Пол сооружения (область $D$) имеет вид прямоугольника с вершинами $O\left(0,0\right)$, $M\left(5,0\right)$, $K\left(5,7\right)$ и $N\left(0,7\right)$. Крыша сооружения имеет вид купола и описывается уравнением $z=\sqrt{\left(4\cdot x+5\right)^{3} } +\sqrt{\left(2\cdot y+6\right)^{3} } $. Требуется с помощью двойного интеграла вычислить площадь крыши этого сооружения.

1. Площадь крыши сооружения вычисляем по формуле $S=\int \limits _{a}^{b}dx\cdot \int \limits _{\phi _{1} \left(x\right)}^{\phi _{2} \left(x\right)}\sqrt{1+\left(\frac{\partial z}{\partial x} \right)^{2} +\left(\frac{\partial z}{\partial y} \right)^{2} } \cdot dy $. Здесь $z=\sqrt{\left(4\cdot x+5\right)^{3} } +\sqrt{\left(2\cdot y+6\right)^{3} } $.

Его прямоугольный пол является правильным в направлении оси $Oy$. Прямые $x=a$ и $x=b$ ограничивают пол в направлении оси $Ox$ сзади и спереди, следовательно, $a=0$, $b=5$. Линии $\phi _{1} \left(x\right)$ и $\phi _{2} \left(x\right)$ ограничивают пол в направлении оси $Oy$ слева и справа, следовательно, $\phi _{1} \left(x\right)=0$, $\phi _{2} \left(x\right)=7$. Окончательно $S=\int \limits _{0}^{5}dx\cdot \int \limits _{0}^{7}\sqrt{1+\left(\frac{\partial z}{\partial x} \right)^{2} +\left(\frac{\partial z}{\partial y} \right)^{2} } \cdot dy $.

2. Находим частную производную $\frac{\partial z}{\partial x} $:
\[\frac{\partial z}{\partial x} =\frac{\partial \left(\sqrt{\left(4\cdot x+5\right)^{3} } +\sqrt{\left(2\cdot y+6\right)^{3} } \right)}{\partial x} =\frac{\partial \sqrt{\left(4\cdot x+5\right)^{3} } }{\partial x} =6\cdot \sqrt{4\cdot x+5} .\]
3. Находим частную производную $\frac{\partial z}{\partial y} $:
\[\frac{\partial z}{\partial y} =\frac{\partial \left(\sqrt{\left(4\cdot x+5\right)^{3} } +\sqrt{\left(2\cdot y+6\right)^{3} } \right)}{\partial y} =\frac{\partial \sqrt{\left(2\cdot y+6\right)^{3} } }{\partial y} =3\cdot \sqrt{2\cdot y+6} .\]
4. Находим подкоренное выражение интеграла:
\[W=1+\left(\frac{\partial z}{\partial x} \right)^{2} +\left(\frac{\partial z}{\partial y} \right)^{2} =144\cdot x+18\cdot y+235.\]

Таким образом, для нахождения площади нужно вычислить интеграл

\[S=\int \limits _{0}^{5}dx \int \limits _{0}^{7}\sqrt{W} \cdot dy =\int \limits _{0}^{5}dx \int \limits _{0}^{7}\sqrt{144\cdot x+18\cdot y+235} \cdot dy .\]
5. Находим внутренний интеграл:
\[I=\int \limits _{0}^{7}\sqrt{144\cdot x+18\cdot y+235} \cdot dy =\frac{1}{27} \cdot \left(144\cdot x+361\right)^{\frac{3}{2} } -\frac{1}{27} \cdot \left(144\cdot x+235\right)^{\frac{3}{2} } .\]
6. Находим площадь крыши:
\[S=\int \limits _{0}^{5}I\cdot dx =\frac{1}{27} \cdot \int \limits _{0}^{5}\left(144\cdot x+361\right)^{\frac{3}{2} } \cdot dx -\frac{1}{27} \cdot \int \limits _{0}^{5}\left(144\cdot x+235\right)^{\frac{3}{2} } \cdot dx ;\] \[I_{1} =\int \limits _{0}^{5}\left(144\cdot x+361\right)^{\frac{3}{2} } \cdot dx =\left[\frac{1}{144} \cdot \frac{\left(144\cdot x+361\right)^{\frac{5}{2} } }{\frac{5}{2} } \right]_{0}^{5} \approx 99845,86;\] \[I_{2} =\int \limits _{0}^{5}\left(144\cdot x+235\right)^{\frac{3}{2} } \cdot dx =\left[\frac{1}{144} \cdot \frac{\left(144\cdot x+235\right)^{\frac{5}{2} } }{\frac{5}{2} } \right]_{0}^{5} \approx 75938,31;\]

окончательно $S=\frac{1}{27} \cdot \left(99845,86-75938,31\right)\approx 885,46$ кв.ед.