Processing math: 100%
Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Вычисление площади поверхности с помощью двойного интеграла

Основные формулы

Если везде в области D на координатной плоскости xOy для формулы I=Df(x,y)dxdy положить f(x,y)1, то, в соответствии со своим геометрическим смыслом, двойной интеграл будет численно равен площади S области интегрирования D, то есть S=Ddxdy. В полярной системе координат эта же самая формула приобретает вид S=Dρdρdϕ.

Пусть некоторая поверхность Q задана уравнениям z=f1(x,y). Вычислим площадь той части поверхности Q, которая проецируется на координатную плоскость xOy в область D1, где функция f1(x,y) непрерывна и имеет непрерывные частные производные. Тогда искомую площадь можно вычислить по формуле S=D11+(zx)2+(zy)2dxdy.

Если уравнение поверхности Q задано в виде x=f2(y,z) или y=f3(x,z), то соответствующие формулы для вычисления площади поверхности имеют следующий вид:

Здесь D2 и D3 -- области, в которые проецируется поверхность Q на координатные плоскости yOz и xOz соответственно.

Применение формул на практике

Задача 1

Замкнутая область D на плоскости определяется пересечением параболы y=2x216x+31 с двумя прямыми в точках A и B при xA=3 и xB=6 соответственно. Эти прямые, в свою очередь, пересекаются в заданной точхе C(5,9). С помощью двойного интеграла вычислить площадь области D, рассматривая её как правильную в направлении оси Oy.

  1. Находим координаты точки A(xA,yA):
  2. yA=2x2A16xA+31=232163+31=1. Получаем A(3,1).

  3. Находим координаты точки B(xB,yB):
  4. yB=2x2B16xB+31=262166+31=7. Получаем B(6,7).

  5. Находим уравнение прямой AC. Она проходит через точки A(3,1) и C(5,9). Её уравнение имеет вид y=a1x+b1. Угловой коэффициент: a1=9153=4, смещение b1=143=11. Окончательно y=4x11.
  6. Находим уравнение прямой CB. Она проходит через точки C(5,9) и B(6,7). Её уравнение имеет вид y=a2x+b2. Угловой коэффициент: a2=7965=2, смещение b2=9(2)5=19. Окончательно y=2x+19.
  7. Заданная область D является правильной в направлении оси Oy. Нижняя граница области образована параболой. Верхняя граница области состоит из двух участков: прямой AC и прямой CB. Поэтому область D разбиваем на две подобласти (левую D1 и правую D2) вертикальной прямой, проходящей через точку C.
  8. Площади подобластей определяем с помощью двойного интеграла S=Ddxdy. При этом двойной интеграл для каждой подобласти будем вычислять с помощью двукратного интеграла S=Ddxdy=badxϕ2(x)ϕ1(x)dy.
  9. Находим площадь S1 левой подобласти D1, которая слева ограничена прямой x=3, справа -- прямой x=5, снизу -- параболой y=2x216x+31, сверху -- прямой AC, уравнение которой y=4x11. Таким образом, a=3, b=5, ϕ1(x)=2x216x+31, ϕ2(x)=4x11. Для вычисления площади S1 левой подобласти D1 окончательно получаем интеграл S1=53dx4x112x216x+31dy.
  10. Сначала вычисляем внутренний интеграл I1, в котором интегрирование выполняется по y, а x считается постоянной:
  11. I1=4x112x216x+31dy=[y]4x112x216x+31=
    =(4x11)(2x216x+31)=2x2+20x42.
  12. Теперь полученную функцию от x следует проинтегрировать по x:
  13. S1=53I1dx=53(2x2+20x42)dx=
    =253x2dx+2053xdx4253dx=2[x33]53+20[x22]5342[x]53=
    =213[5333]+2012[5232]42[53]=
    =2398+101642210,667.
  14. Находим площадь S2 правой подобласти D2, которая слева ограничена прямой x=5, справа -- прямой x=6, снизу -- параболой y=2x216x+31, сверху -- прямой CB, уравнение которой y=2x+19. Таким образом, a=5, b=6, ϕ1(x)=2x216x+31, ϕ2(x)=2x+19. Для вычисления площади S2 правой подобласти D2 окончательно получаем интеграл S2=65dx2x+192x216x+31dy.
  15. Сначала вычисляем внутренний интеграл I2, в котором интегрирование выполняется по y, а x считается постоянной:
  16. I2=2x+192x216x+31dy=[y]2x+192x216x+31=
    =(2x+19)(2x216x+31)=2x2+14x12.
  17. Теперь интегрируем по x полученную функцию от x:
  18. S2=65I2dx=65(2x2+14x12)dx=
    =213[6353]+1412[6252]12[65]=
    =2391+7111214,333.
  19. Площадь области D равна S=S1+S2=10,667+4,333=15 кв.ед.
«Вычисление площади поверхности с помощью двойного интеграла» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Помощь с рефератом от нейросети
Написать ИИ
Задача 2

На горизонтальной плоскости xOy находится вертикальное цилиндрическое сооружение. Пол сооружения (область D) имеет вид прямоугольника с вершинами O(0,0), M(5,0), K(5,7) и N(0,7). Крыша сооружения имеет вид купола и описывается уравнением z=(4x+5)3+(2y+6)3. Требуется с помощью двойного интеграла вычислить площадь крыши этого сооружения.

  1. Площадь крыши сооружения вычисляем по формуле S=badxϕ2(x)ϕ1(x)1+(zx)2+(zy)2dy. Здесь z=(4x+5)3+(2y+6)3.
  2. Его прямоугольный пол является правильным в направлении оси Oy. Прямые x=a и x=b ограничивают пол в направлении оси Ox сзади и спереди, следовательно, a=0, b=5. Линии ϕ1(x) и ϕ2(x) ограничивают пол в направлении оси Oy слева и справа, следовательно, ϕ1(x)=0, ϕ2(x)=7. Окончательно S=50dx701+(zx)2+(zy)2dy.

  3. Находим частную производную zx:
  4. zx=((4x+5)3+(2y+6)3)x=(4x+5)3x=64x+5.
  5. Находим частную производную zy:
  6. zy=((4x+5)3+(2y+6)3)y=(2y+6)3y=32y+6.
  7. Находим подкоренное выражение интеграла:
  8. W=1+(zx)2+(zy)2=144x+18y+235.

    Таким образом, для нахождения площади нужно вычислить интеграл

    S=50dx70Wdy=50dx70144x+18y+235dy.
  9. Находим внутренний интеграл:
  10. I=70144x+18y+235dy=127(144x+361)32127(144x+235)32.
  11. Находим площадь крыши:
  12. S=50Idx=12750(144x+361)32dx12750(144x+235)32dx;
    I1=50(144x+361)32dx=[1144(144x+361)5252]5099845,86;
    I2=50(144x+235)32dx=[1144(144x+235)5252]5075938,31;

    окончательно S=127(99845,8675938,31)885,46 кв.ед.

Дата последнего обновления статьи: 19.01.2025
Получи помощь с рефератом от ИИ-шки
ИИ ответит за 2 минуты
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Вычисление площади поверхности с помощью двойного интеграла"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant