Основные формулы
Если везде в области D на координатной плоскости xOy для формулы I=∬Df(x,y)⋅dx⋅dy положить f(x,y)≡1, то, в соответствии со своим геометрическим смыслом, двойной интеграл будет численно равен площади S области интегрирования D, то есть S=∬Ddx⋅dy. В полярной системе координат эта же самая формула приобретает вид S=∬D∗ρ⋅dρ⋅dϕ.
Пусть некоторая поверхность Q задана уравнениям z=f1(x,y). Вычислим площадь той части поверхности Q, которая проецируется на координатную плоскость xOy в область D1, где функция f1(x,y) непрерывна и имеет непрерывные частные производные. Тогда искомую площадь можно вычислить по формуле S=∬D1√1+(∂z∂x)2+(∂z∂y)2⋅dx⋅dy.
Если уравнение поверхности Q задано в виде x=f2(y,z) или y=f3(x,z), то соответствующие формулы для вычисления площади поверхности имеют следующий вид:
Здесь D2 и D3 -- области, в которые проецируется поверхность Q на координатные плоскости yOz и xOz соответственно.
Применение формул на практике
Замкнутая область D на плоскости определяется пересечением параболы y=2⋅x2−16⋅x+31 с двумя прямыми в точках A и B при xA=3 и xB=6 соответственно. Эти прямые, в свою очередь, пересекаются в заданной точхе C(5,9). С помощью двойного интеграла вычислить площадь области D, рассматривая её как правильную в направлении оси Oy.
- Находим координаты точки A(xA,yA):
- Находим координаты точки B(xB,yB):
- Находим уравнение прямой AC. Она проходит через точки A(3,1) и C(5,9). Её уравнение имеет вид y=a1⋅x+b1. Угловой коэффициент: a1=9−15−3=4, смещение b1=1−4⋅3=−11. Окончательно y=4⋅x−11.
- Находим уравнение прямой CB. Она проходит через точки C(5,9) и B(6,7). Её уравнение имеет вид y=a2⋅x+b2. Угловой коэффициент: a2=7−96−5=−2, смещение b2=9−(−2)⋅5=19. Окончательно y=−2⋅x+19.
- Заданная область D является правильной в направлении оси Oy. Нижняя граница области образована параболой. Верхняя граница области состоит из двух участков: прямой AC и прямой CB. Поэтому область D разбиваем на две подобласти (левую D1 и правую D2) вертикальной прямой, проходящей через точку C.
- Площади подобластей определяем с помощью двойного интеграла S=∬Ddx⋅dy. При этом двойной интеграл для каждой подобласти будем вычислять с помощью двукратного интеграла S=∬Ddx⋅dy=b∫adx⋅ϕ2(x)∫ϕ1(x)dy.
- Находим площадь S1 левой подобласти D1, которая слева ограничена прямой x=3, справа -- прямой x=5, снизу -- параболой y=2⋅x2−16⋅x+31, сверху -- прямой AC, уравнение которой y=4⋅x−11. Таким образом, a=3, b=5, ϕ1(x)=2⋅x2−16⋅x+31, ϕ2(x)=4⋅x−11. Для вычисления площади S1 левой подобласти D1 окончательно получаем интеграл S1=5∫3dx⋅4⋅x−11∫2⋅x2−16⋅x+31dy.
- Сначала вычисляем внутренний интеграл I1, в котором интегрирование выполняется по y, а x считается постоянной: I1=4⋅x−11∫2⋅x2−16⋅x+31dy=[y]4⋅x−112⋅x2−16⋅x+31=
- Теперь полученную функцию от x следует проинтегрировать по x: S1=5∫3I1⋅dx=5∫3(−2⋅x2+20⋅x−42)⋅dx=
- Находим площадь S2 правой подобласти D2, которая слева ограничена прямой x=5, справа -- прямой x=6, снизу -- параболой y=2⋅x2−16⋅x+31, сверху -- прямой CB, уравнение которой y=−2⋅x+19. Таким образом, a=5, b=6, ϕ1(x)=2⋅x2−16⋅x+31, ϕ2(x)=−2⋅x+19. Для вычисления площади S2 правой подобласти D2 окончательно получаем интеграл S2=6∫5dx⋅−2⋅x+19∫2⋅x2−16⋅x+31dy.
- Сначала вычисляем внутренний интеграл I2, в котором интегрирование выполняется по y, а x считается постоянной: I2=−2⋅x+19∫2⋅x2−16⋅x+31dy=[y]−2⋅x+192⋅x2−16⋅x+31=
- Теперь интегрируем по x полученную функцию от x: S2=6∫5I2⋅dx=6∫5(−2⋅x2+14⋅x−12)⋅dx=
- Площадь области D равна S=S1+S2=10,667+4,333=15 кв.ед.
yA=2⋅x2A−16⋅xA+31=2⋅32−16⋅3+31=1. Получаем A(3,1).
yB=2⋅x2B−16⋅xB+31=2⋅62−16⋅6+31=7. Получаем B(6,7).
На горизонтальной плоскости xOy находится вертикальное цилиндрическое сооружение. Пол сооружения (область D) имеет вид прямоугольника с вершинами O(0,0), M(5,0), K(5,7) и N(0,7). Крыша сооружения имеет вид купола и описывается уравнением z=√(4⋅x+5)3+√(2⋅y+6)3. Требуется с помощью двойного интеграла вычислить площадь крыши этого сооружения.
- Площадь крыши сооружения вычисляем по формуле S=b∫adx⋅ϕ2(x)∫ϕ1(x)√1+(∂z∂x)2+(∂z∂y)2⋅dy. Здесь z=√(4⋅x+5)3+√(2⋅y+6)3.
- Находим частную производную ∂z∂x: ∂z∂x=∂(√(4⋅x+5)3+√(2⋅y+6)3)∂x=∂√(4⋅x+5)3∂x=6⋅√4⋅x+5.
- Находим частную производную ∂z∂y: ∂z∂y=∂(√(4⋅x+5)3+√(2⋅y+6)3)∂y=∂√(2⋅y+6)3∂y=3⋅√2⋅y+6.
- Находим подкоренное выражение интеграла: W=1+(∂z∂x)2+(∂z∂y)2=144⋅x+18⋅y+235.
- Находим внутренний интеграл: I=7∫0√144⋅x+18⋅y+235⋅dy=127⋅(144⋅x+361)32−127⋅(144⋅x+235)32.
- Находим площадь крыши: S=5∫0I⋅dx=127⋅5∫0(144⋅x+361)32⋅dx−127⋅5∫0(144⋅x+235)32⋅dx;
Его прямоугольный пол является правильным в направлении оси Oy. Прямые x=a и x=b ограничивают пол в направлении оси Ox сзади и спереди, следовательно, a=0, b=5. Линии ϕ1(x) и ϕ2(x) ограничивают пол в направлении оси Oy слева и справа, следовательно, ϕ1(x)=0, ϕ2(x)=7. Окончательно S=5∫0dx⋅7∫0√1+(∂z∂x)2+(∂z∂y)2⋅dy.
Таким образом, для нахождения площади нужно вычислить интеграл
S=5∫0dx7∫0√W⋅dy=5∫0dx7∫0√144⋅x+18⋅y+235⋅dy.окончательно S=127⋅(99845,86−75938,31)≈885,46 кв.ед.