Модуль и аргумент комплексного числа

Модуль заданного комплексного числа вычисляется по следующей формуле:

Решение:

Модуль комплексного числа $z=a+bi$ вычислим по формуле: $r=\sqrt{a^{2} +b^{2} }$.

Для исходного комплексного числа $z_{1} =13$ получим $r_{1} =|z_{1} |=|13+0i|=\sqrt{13^{2} +0^{2} } =\sqrt{169} =13$

Для исходного комплексного числа $\, z_{2} =4i$ получим $r_{2} =|z_{2} |=|0+4i|=\sqrt{0^{2} +4^{2} } =\sqrt{16} =4$

Для исходного комплексного числа $\, z_{3} =4+3i$ получим $r_{3} =|z_{3} |=|4+3i|=\sqrt{4^{2} +3^{2} } =\sqrt{16+9} =\sqrt{25} =5$

Решение:

1) Подставим данные $r=3;\varphi =\pi$ в соответствующие формулы и получим:

$z=3\cdot (\cos \pi +i\sin \pi )$ - тригонометрическая форма

$z=3\cdot e^{i\pi }$ - показательная форма.

2) Подставим данные $r=13;\varphi =\frac{3\pi }{4}$ в соответствующие формулы и получим:

$z=13\cdot (\cos \frac{3\pi }{4} +i\sin \frac{3\pi }{4} )$ - тригонометрическая форма

$z=13\cdot e^{i\frac{3\pi }{4} }$ - показательная форма.

Решение:

Модуль и аргумент найдем, используя формулы записи заданного комплексного числа в тригонометрической и показательной формах соответственно

1) Для исходного комплексного числа $z=\sqrt{2} \cdot (\cos 2\pi +i\sin 2\pi )$ получим $r=\sqrt{2} ;\varphi =2\pi$.

2) Для исходного комплексного числа $z=\frac{5}{3} \cdot (\cos \frac{2\pi }{3} +i\sin \frac{2\pi }{3} )$ получим $r=\frac{5}{3} ;\varphi =\frac{2\pi }{3}$.

3) Для исходного комплексного числа $z=\sqrt{13} \cdot e^{i\frac{3\pi }{4} }$ получим $r=\sqrt{13} ;\varphi =\frac{3\pi }{4}$.

4) Для исходного комплексного числа $z=13\cdot e^{i\pi }$ получим $r=13;\varphi =\pi$.

Аргумент $\varphi$ заданного комплексного числа $z=a+bi$ можно вычислить, используя следующие формулы:

На практике для вычисления значения аргумента заданного комплексного числа $z=a+bi$ обычно пользуются формулой:

$\varphi =\arg z=\left\{\begin{array}{c} {arctg\frac{b}{a} ,a\ge 0} \\ {arctg\frac{b}{a} +\pi ,a

или решают систему уравнений

$\left\{\begin{array}{c} {\cos \varphi =\frac{a}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } } } \\ {\sin \varphi =\frac{b}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } } } \end{array}\right.$. (**)

Решение:

1) $z=3$

Так как $z=3$, то $a=3,b=0$. Вычислим аргумент исходного комплексного числа, используя формулу (*):

2) $z=4i$

Так как $z=4i$, то $a=0,b=4$. Вычислим аргумент исходного комплексного числа, используя формулу (*):

3) $z=1+i$.

Так как $z=1+i$, то $a=1,b=1$. Вычислим аргумент исходного комплексного числа, решая систему (**):

Из курса тригонометрии известно, что $\cos \varphi =\sin \varphi =\frac{\sqrt{2} }{2}$ для угла, соответствующего первой координатной четверти и равного $\varphi =\frac{\pi }{4}$.

4) $z=-5$

Так как $z=-5$, то $a=-5,b=0$. Вычислим аргумент исходного комплексного числа, используя формулу (*):

5) $z=-2i$

Так как $z=-2i$, то $a=0,b=-2$. Вычислим аргумент исходного комплексного числа, используя формулу (*):

Решение:

Число $z_{1}$ изображено точкой $(3;0)$, следовательно, длина радиус-вектора равна 3, т.е. $r=3$, а аргумент $\varphi =0$ по примечанию 2.

Число $z_{2}$ изображено точкой $(-2;0)$, следовательно, длина соответствующего радиус-вектора равна 2, т.е. $r=2$, а аргумент $\varphi =\pi$ по примечанию 2.

Число $z_{3}$ изображено точкой $(0;1)$, следовательно, длина соответствующего радиус-вектора равна 1, т.е. $r=1$, а аргумент $\varphi =\frac{\pi }{2}$ по примечанию 3.

Число $z_{4}$ изображено точкой $(0;-1)$, следовательно, длина соответствующего радиус-вектора равна 1, т.е. $r=1$, а аргумент $\varphi =\frac{3\pi }{2}$ по примечанию 3.

Число $z_{5}$ изображено точкой $(2;2)$, следовательно, длина соответствующего радиус-вектора равна $\sqrt{2^{2} +2^{2} } =\sqrt{4+4} =\sqrt{8} =2\sqrt{2}$, т.е. $r=2\sqrt{2}$, а аргумент $\varphi =\frac{\pi }{4}$ по свойству прямоугольного треугольника.