Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Квадратное уравнение с комплексными корнями

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Все предметы / Математика / Комплексные числа и многочлены / Квадратное уравнение с комплексными корнями

Рассмотрим решение уравнений с комплексными корнями и коэффициентами.

Определение 1

Двучленным называется уравнение вида $x^{n} =A$.

Рассмотрим три случая:

  • В случае если $A$ - это положительное действительное число, то корни уравнения находятся по формуле
  • \[x_{k} =\sqrt[{n}]{A} \cdot \left(\cos \frac{2k\pi }{n} +i\cdot \sin \frac{2k\pi }{n} \right),\, \, \, k=0,..,n-1.\]
  • В случае если $A$ - это отрицательное действительное число, то корни уравнения находятся по формуле
  • \[x_{k} =\sqrt[{n}]{|A|} \cdot \left(\cos \frac{\pi +2k\pi }{n} +i\cdot \sin \frac{\pi +2k\pi }{n} \right),\, \, \, k=0,..,n-1.\]
  • В случае если $A$ - это комплексное число, то корни уравнения находятся по формуле
  • \[x_{k} =\sqrt[{n}]{r} \cdot (\cos \frac{\varphi +2\pi k}{n} +i\sin \frac{\varphi +2\pi k}{n} ),\, \, \, k=0..n-1.\]

Помощь со студенческой работой на тему
Квадратное уравнение с комплексными корнями

Пример 1

Решить уравнение: $x^{3} =8$.

Решение:

Так как $A>0$, то $x_{k} =\sqrt[{3}]{8} \cdot \left(\cos \frac{2k\pi }{3} +i\cdot \sin \frac{2k\pi }{3} \right),\, \, \, k=0,..,2$.

При $k=0$ получаем $x_{0} =\sqrt[{3}]{8} \cdot \left(\cos 0+i\cdot \sin 0\right)=\sqrt[{3}]{8} =2$.

При $k=1$ получаем

\[x_{1} =\sqrt[{3}]{8} \cdot \left(\cos \frac{2\pi }{3} +i\cdot \sin \frac{2\pi }{3} \right)=\sqrt[{3}]{8} \cdot (-\frac{1}{2} +\frac{\sqrt{3} }{2} \cdot i)=2\cdot (-\frac{1}{2} +\frac{\sqrt{3} }{2} \cdot i)=-1+\sqrt{3} \cdot i.\]

При $k=2$ получаем

\[x_{2} =\sqrt[{3}]{8} \cdot \left(\cos \frac{4\pi }{3} +i\cdot \sin \frac{4\pi }{3} \right)=\sqrt[{3}]{8} \cdot (-\frac{1}{2} -\frac{\sqrt{3} }{2} \cdot i)=2\cdot (-\frac{1}{2} -\frac{\sqrt{3} }{2} \cdot i)=-1-\sqrt{3} \cdot i.\]
Пример 2

Решить уравнение: $x^{3} =1+i$.

Решение:

Так как $A$ - комплексное число, то

\[x_{k} =\sqrt[{n}]{r} \cdot (\cos \frac{\varphi +2\pi k}{n} +i\sin \frac{\varphi +2\pi k}{n} ),\, \, \, k=0..n-1,\, \, \, k=0,..,2.\]

Тригонометрическая форма записи некоторого комплексного числа имеет вид $z=r(\cos \varphi +i\cdot \sin \varphi )$.

По условию $a=1,b=1$.

Вычислим модуль исходного комплексного числа:

\[r=\sqrt{1^{2} +1^{2} } =\sqrt{1+1} =\sqrt{2} \]

Вычислим аргумент исходного комплексного числа:

\[\varphi =\arg z=arctg\frac{1}{1} =arctg1=\frac{\pi }{4} \]

Подставим полученные значения и получим:

\[A=\sqrt{2} \cdot (\cos \frac{\pi }{4} +i\sin \frac{\pi }{4} )\]

Уравнение перепишем в виде:

\[x^{3} =\sqrt{2} \cdot (\cos \frac{\pi }{4} +i\sin \frac{\pi }{4} )\]

При $k=0$ получаем $x_{0} =\sqrt[{3}]{\sqrt{2} } \cdot \left(\cos \frac{\pi /4}{3} +i\cdot \sin \frac{\pi /4}{3} \right)=\sqrt[{3}]{\sqrt{2} } \cdot \left(\cos \frac{\pi }{12} +i\cdot \sin \frac{\pi }{12} \right)=\sqrt[{6}]{2} \cdot \left(\cos \frac{\pi }{12} +i\cdot \sin \frac{\pi }{12} \right)$.

При $k=1$ получаем

\[\begin{array}{l} {x_{1} =\sqrt[{3}]{\sqrt{2} } \cdot \left(\cos \frac{\pi /4+2\pi }{3} +i\cdot \sin \frac{\pi /4+2\pi }{3} \right)=\sqrt[{3}]{\sqrt{2} } \cdot \left(\cos \frac{3\pi }{4} +i\cdot \sin \frac{3\pi }{4} \right)=} \\ {=\sqrt[{6}]{2} \cdot \left(\cos \frac{3\pi }{4} +i\cdot \sin \frac{3\pi }{4} \right)} \end{array}\]

При $k=2$ получаем

\[\begin{array}{l} {x_{2} =\sqrt[{3}]{\sqrt{2} } \cdot \left(\cos \frac{\pi /4+4\pi }{3} +i\cdot \sin \frac{\pi /4+4\pi }{3} \right)=\sqrt[{3}]{\sqrt{2} } \cdot \left(\cos \frac{17\pi }{12} +i\cdot \sin \frac{17\pi }{12} \right)=} \\ {=\sqrt[{6}]{2} \cdot \left(\cos \frac{17\pi }{12} +i\cdot \sin \frac{17\pi }{12} \right)} \end{array}\]
Определение 2

Квадратным называется уравнение вида $ax^{2} +bx+c=0$, где коэффициенты $a,b,c$ в общем случае являются некоторыми комплексными числами.

Решение квадратного уравнения находится с помощью дискриминанта $D=b^{2} -4ac$, при этом

\[x_{1,2} =\frac{-b\pm \sqrt{D} }{2a} .\]
Примечание 1

В случае, когда дискриминант является отрицательным числом, корни данного уравнения являются комплексными числами.

Пример 3

Решить уравнение $x^{2} +2x+5=0$ и изобразить корни на плоскости.

Решение:

Вычислим дискриминант:

\[D=2^{2} -4\cdot 1\cdot 5=4-20=-16.\]

Так как $D \[x_{1,2} =\frac{-2\pm \sqrt{-16} }{2} =\frac{-2\pm i\cdot \sqrt{16} }{2} =\frac{-2\pm i\cdot 4}{2} =-1\pm 2i.\]

Изображение корней уравнения на комплексной плоскости (так как корни комплексные) приведено на рис. 1.

Изображение корней уравнения на комплексной плоскости

Рис. 1

Примечание 2

В случае, когда уравнение имеет комплексные корни, они являются комплексно-сопряженными числами.

Определение 3

Комплексное число вида $\overline{z}=a-bi$ называется числом комплексно-сопряженным для $z=a+bi$.

Примечание 3

Известно, что если $x_{1,2} $ являются корнями квадратного уравнения $ax^{2} +bx+c=0$, то данное уравнение можно переписать в виде $(x-x_{1} )(x-x_{2} )=0$. В общем случае $x_{1,2} $ являются комплексными корнями.

Пример 4

Зная корни уравнения $x_{1,2} =1\pm 2i$, записать исходное уравнение.

Решение:

Запишем уравнение следующим образом:

\[(x-(1-2i))\cdot (x-(1+2i))=0.\]

Выполним умножение комплексных чисел

\[x^{2} -(1-2i)\cdot x-x\cdot (1+2i)+(1-2i)\cdot (1+2i)=0\]\[x^{2} -x+2i\cdot x-x-2i\cdot x+1-4i^{2} =0\] \[x^{2} -2x+1+4=0\] \[x^{2} -2x+5=0\]

Следовательно, $x^{2} -2x+5=0$ - искомое уравнение.

Рассмотрим квадратное уравнение с комплексными коэффициентами.

Пример 5

Решить уравнение: $z^{2} +(1-2i)\cdot z-(1+i)=0$ и изобразить корни на плоскости.

Решение:

Вычислим дискриминант:

\[D=(1-2i)^{2} +4\cdot 1\cdot (1+i)=1-4i+4i^{2} +4+4i=1-4+4=1.\]

Так как $D>0$, уравнение имеет два корня:

\[x_{1} =\frac{-(1-2i))-\sqrt{1} }{2} =\frac{-1+2i-1}{2} =\frac{-2+2i}{2} =-1+i.\] \[x_{2} =\frac{-(1-2i))+\sqrt{1} }{2} =\frac{-1+2i+1}{2} =\frac{2i}{2} =i.\]

Изображение корней уравнения на комплексной плоскости (так как корни комплексные) приведено на рис. 2.

Изображение корней уравнения на комплексной плоскости

Рис. 2

Примечание 4

В случае, когда уравнение имеет комплексные коэффициенты, его корни не обязательно являются комплексно-сопряженными числами.

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис