Рассмотрим решение уравнений с комплексными корнями и коэффициентами.
Двучленным называется уравнение вида xn=A.
Рассмотрим три случая:
- В случае если A - это положительное действительное число, то корни уравнения находятся по формуле
- В случае если A - это отрицательное действительное число, то корни уравнения находятся по формуле
- В случае если A - это комплексное число, то корни уравнения находятся по формуле
Решить уравнение: x3=8.
Решение:
Так как A>0, то xk=3√8⋅(cos2kπ3+i⋅sin2kπ3),k=0,..,2.
При k=0 получаем x0=3√8⋅(cos0+i⋅sin0)=3√8=2.
При k=1 получаем
При k=2 получаем
Решить уравнение: x3=1+i.
Решение:
Так как A - комплексное число, то
Тригонометрическая форма записи некоторого комплексного числа имеет вид z=r(cosφ+i⋅sinφ).
По условию a=1,b=1.
Вычислим модуль исходного комплексного числа:
Вычислим аргумент исходного комплексного числа:
Подставим полученные значения и получим:
Уравнение перепишем в виде:
При k=0 получаем x0=3√√2⋅(cosπ/43+i⋅sinπ/43)=3√√2⋅(cosπ12+i⋅sinπ12)=6√2⋅(cosπ12+i⋅sinπ12).
При k=1 получаем
При k=2 получаем
Квадратным называется уравнение вида ax2+bx+c=0, где коэффициенты a,b,c в общем случае являются некоторыми комплексными числами.
Решение квадратного уравнения находится с помощью дискриминанта D=b2−4ac, при этом
В случае, когда дискриминант является отрицательным числом, корни данного уравнения являются комплексными числами.
Решить уравнение x2+2x+5=0 и изобразить корни на плоскости.
Решение:
Вычислим дискриминант:
Так как $D
Изображение корней уравнения на комплексной плоскости (так как корни комплексные) приведено на рис. 1.
Рис. 1
В случае, когда уравнение имеет комплексные корни, они являются комплексно-сопряженными числами.
Комплексное число вида ¯z=a−bi называется числом комплексно-сопряженным для z=a+bi.
Известно, что если x1,2 являются корнями квадратного уравнения ax2+bx+c=0, то данное уравнение можно переписать в виде (x−x1)(x−x2)=0. В общем случае x1,2 являются комплексными корнями.
Зная корни уравнения x1,2=1±2i, записать исходное уравнение.
Решение:
Запишем уравнение следующим образом:
Выполним умножение комплексных чисел
Следовательно, x2−2x+5=0 - искомое уравнение.
Рассмотрим квадратное уравнение с комплексными коэффициентами.
Решить уравнение: z2+(1−2i)⋅z−(1+i)=0 и изобразить корни на плоскости.
Решение:
Вычислим дискриминант:
Так как D>0, уравнение имеет два корня:
Изображение корней уравнения на комплексной плоскости (так как корни комплексные) приведено на рис. 2.
Рис. 2
В случае, когда уравнение имеет комплексные коэффициенты, его корни не обязательно являются комплексно-сопряженными числами.