Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Квадратное уравнение с комплексными корнями

Рассмотрим решение уравнений с комплексными корнями и коэффициентами.

Определение 1

Двучленным называется уравнение вида xn=A.

Рассмотрим три случая:

  • В случае если A - это положительное действительное число, то корни уравнения находятся по формуле
  • xk=nA(cos2kπn+isin2kπn),k=0,..,n1.
  • В случае если A - это отрицательное действительное число, то корни уравнения находятся по формуле
  • xk=n|A|(cosπ+2kπn+isinπ+2kπn),k=0,..,n1.
  • В случае если A - это комплексное число, то корни уравнения находятся по формуле
  • xk=nr(cosφ+2πkn+isinφ+2πkn),k=0..n1.
Пример 1

Решить уравнение: x3=8.

Решение:

Так как A>0, то xk=38(cos2kπ3+isin2kπ3),k=0,..,2.

При k=0 получаем x0=38(cos0+isin0)=38=2.

При k=1 получаем

x1=38(cos2π3+isin2π3)=38(12+32i)=2(12+32i)=1+3i.

При k=2 получаем

x2=38(cos4π3+isin4π3)=38(1232i)=2(1232i)=13i.
Пример 2

Решить уравнение: x3=1+i.

«Квадратное уравнение с комплексными корнями» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Найти

Решение:

Так как A - комплексное число, то

xk=nr(cosφ+2πkn+isinφ+2πkn),k=0..n1,k=0,..,2.

Тригонометрическая форма записи некоторого комплексного числа имеет вид z=r(cosφ+isinφ).

По условию a=1,b=1.

Вычислим модуль исходного комплексного числа:

r=12+12=1+1=2

Вычислим аргумент исходного комплексного числа:

φ=argz=arctg11=arctg1=π4

Подставим полученные значения и получим:

A=2(cosπ4+isinπ4)

Уравнение перепишем в виде:

x3=2(cosπ4+isinπ4)

При k=0 получаем x0=32(cosπ/43+isinπ/43)=32(cosπ12+isinπ12)=62(cosπ12+isinπ12).

При k=1 получаем

x1=32(cosπ/4+2π3+isinπ/4+2π3)=32(cos3π4+isin3π4)==62(cos3π4+isin3π4)

При k=2 получаем

x2=32(cosπ/4+4π3+isinπ/4+4π3)=32(cos17π12+isin17π12)==62(cos17π12+isin17π12)
Определение 2

Квадратным называется уравнение вида ax2+bx+c=0, где коэффициенты a,b,c в общем случае являются некоторыми комплексными числами.

Решение квадратного уравнения находится с помощью дискриминанта D=b24ac, при этом

x1,2=b±D2a.
Примечание 1

В случае, когда дискриминант является отрицательным числом, корни данного уравнения являются комплексными числами.

Пример 3

Решить уравнение x2+2x+5=0 и изобразить корни на плоскости.

Решение:

Вычислим дискриминант:

D=22415=420=16.

Так как $D x1,2=2±162=2±i162=2±i42=1±2i.

Изображение корней уравнения на комплексной плоскости (так как корни комплексные) приведено на рис. 1.

Изображение корней уравнения на комплексной плоскости

Рис. 1

Примечание 2

В случае, когда уравнение имеет комплексные корни, они являются комплексно-сопряженными числами.

Определение 3

Комплексное число вида ¯z=abi называется числом комплексно-сопряженным для z=a+bi.

Примечание 3

Известно, что если x1,2 являются корнями квадратного уравнения ax2+bx+c=0, то данное уравнение можно переписать в виде (xx1)(xx2)=0. В общем случае x1,2 являются комплексными корнями.

Пример 4

Зная корни уравнения x1,2=1±2i, записать исходное уравнение.

Решение:

Запишем уравнение следующим образом:

(x(12i))(x(1+2i))=0.

Выполним умножение комплексных чисел

x2(12i)xx(1+2i)+(12i)(1+2i)=0
x2x+2ixx2ix+14i2=0
x22x+1+4=0
x22x+5=0

Следовательно, x22x+5=0 - искомое уравнение.

Рассмотрим квадратное уравнение с комплексными коэффициентами.

Пример 5

Решить уравнение: z2+(12i)z(1+i)=0 и изобразить корни на плоскости.

Решение:

Вычислим дискриминант:

D=(12i)2+41(1+i)=14i+4i2+4+4i=14+4=1.

Так как D>0, уравнение имеет два корня:

x1=(12i))12=1+2i12=2+2i2=1+i.
x2=(12i))+12=1+2i+12=2i2=i.

Изображение корней уравнения на комплексной плоскости (так как корни комплексные) приведено на рис. 2.

Изображение корней уравнения на комплексной плоскости

Рис. 2

Примечание 4

В случае, когда уравнение имеет комплексные коэффициенты, его корни не обязательно являются комплексно-сопряженными числами.

Дата последнего обновления статьи: 13.11.2024
Получи помощь с рефератом от ИИ-шки
ИИ ответит за 2 минуты
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot