Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Геометрическая интерпретация комплексного числа

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис
Все предметы / Математика / Комплексные числа и многочлены / Геометрическая интерпретация комплексного числа
Геометрическая интерпретация комплексного числа

Любое комплексное число можно изобразить на плоскости, которую принято называть комплексной плоскостью. Комплексная плоскость аналогична прямоугольной декартовой системе координат, исключение составляют только названия осей:

  • действительная ось (соответствует оси абсцисс);
  • мнимая ось (соответствует оси ординат).

Общий вид комплексной плоскости представлен на рис.1.

Общий вид комплексной плоскости

Рис. 1

Рассмотрим комплексное число $z=a+bi$.

Утверждение

Любому заданному комплексному числу $z$ можно поставить в соответствие точку комплексной плоскости, координатами которой являются числа $a$ и $b$ - $(a,b)$.

Обратное утверждение

Любой заданной точке $(x,y)$ плоскости можно поставить в соответствие комплексное число $z=x+yi$.

Соединяя точку, изображающую комплексное число, с началом координат $O(0;0)$, получим некоторый вектор $\overrightarrow{OM} $. Иногда удобнее считать геометрическим изображением заданного комплексного числа $z=a+bi$ вектор $\overrightarrow{OM} =(a,b)$.

Комплексные числа

Рис. 2

Пример 1

Изобразить на комплексной плоскости числа $z_{1} =3,\, \, z_{2} =2i,\, \, \, z_{3} =3+2i$.

Решение:

Для заданного комплексного числа $z_{1} =3$ имеем $Rez=3,Imz=0$ или (3;0).

Для заданного комплексного числа $z_{2} =2i$ имеем $Rez=0,Imz=2$ или (0;2).

Для заданного комплексного числа $z_{3} =3+2i$ имеем $Rez=3,Imz=2$ или (3;2).

Отмечая соответствующие точки на плоскости, получим изображение комплексных чисел (рис.3)

Отмечая соответствующие точки на плоскости, получим изображение комплексных чисел

Рис. 3

Пример 2.

Сопоставить заданным точкам на комплексной плоскости соответствующие комплексные числа.

Сопоставить заданным точкам на комплексной плоскости соответствующие комплексные числа

Рис. 4

Решение:

Для точки $M_{1} (6;0)$ имеем $Rez=6,Imz=0$. Запишем соответствующее комплексное число: $z_{1} =6$.

Для точки $M_{21} (0;4)$ имеем $Rez=0,Imz=4$. Запишем соответствующее комплексное число: $z_{2} =4i$.

Для точки $M_{3} (6;4)$ имеем $Rez=6,Imz=4$. Запишем соответствующее комплексное число: $\, z_{3} =6+4i$.

Для точки $M_{3} (-4;1)$ имеем $Rez=-4,Imz=1$. Запишем соответствующее комплексное число: $\, z_{4} =-4+i$.

Определение 1

Длина радиус-вектора, который изображает заданное комплексное число $z=a+bi$, называется модулем данного комплексного числа.

Модуль заданного комплексного числа вычисляется по следующей формуле:

$r=|z|=|a+bi|=\sqrt{a^{2} +b^{2} }$.
Пример 3

Вычислить модуль заданных комплексных чисел $z_{1} =3,\, \, z_{2} =2i,\, \, \, z_{3} =3+2i$.

Решение:

Модуль комплексного числа $z=a+bi$ вычислим по формуле: $r=\sqrt{a^{2} +b^{2} } $

Для заданного комплексного числа $z_{1} =3$ получим $r_{1} =|z_{1} |=|3+0i|=\sqrt{3^{2} +0^{2} } =\sqrt{9} =3$

Для заданного комплексного числа $\, z_{2} =2i$ получим $r_{2} =|z_{2} |=|0+2i|=\sqrt{0^{2} +2^{2} } =\sqrt{4} =2$

Для заданного комплексного числа $\, z_{3} =3+2i$ получим $r_{3} =|z_{3} |=|3+2i|=\sqrt{3^{2} +2^{2} } =\sqrt{9+4} =\sqrt{13} $

Определение 2

Угол $\varphi $, образованный положительным направлением вещественной оси и радиус-вектором $\overrightarrow{OM} $, который соответствует заданному комплексному числу $z=a+bi$, называется аргументом данного числа и обозначается $\arg z$.

Примечание

Аргумент вещественных чисел равен соответственно 0 для положительного числа, $\pi $ для отрицательного числа. Аргумент чисто мнимых чисел равен соответственно $\frac{\pi }{2} $ с положительной мнимой частью, $\frac{3\pi }{2} $ с отрицательной мнимой частью.

Пример 4

Изобразить на комплексной плоскости числа, для которых:

\[1) r=3,\arg z=0; 2) r=2,\arg z=\pi ; 3) r=1,\arg z=\frac{\pi }{2} ; 4) r=1,\arg z=\frac{3\pi }{2} ; 5) r=2\sqrt{2} ,\arg z=\frac{\pi }{4}

Решение:

  1. Для $r=3,\arg z=0$ имеем положительное вещественное число. Числу соответствует точка $(3;0)$.
  2. Для $r=2,\arg z=\pi $ имеем отрицательное вещественное число. Числу соответствует точка $(-2;0)$.
  3. Для $r=1,\arg z=\frac{\pi }{2} $ имеем число с положительной мнимой частью. Числу соответствует точка $(0;1)$.
  4. Для $r=1,\arg z=\frac{3\pi }{2} $ имеем число с отрицательной мнимой частью. Числу соответствует точка $(0;-1)$.
  5. Для $r=2\sqrt{2} ,\arg z=\frac{\pi }{4} $ имеем радиус-вектор длинной $r=2\sqrt{2} $ и составляющий угол $\frac{\pi }{4} $ с положительным направлением действительной оси.

Изобразим все числа на комплексной плоскости (рис.5).

Изобразим все числа на комплексной плоскости

Рис. 5

comments powered by HyperComments