Любое комплексное число можно изобразить на плоскости, которую принято называть комплексной плоскостью. Комплексная плоскость аналогична прямоугольной декартовой системе координат, исключение составляют только названия осей:
Общий вид комплексной плоскости представлен на рис.1.
Рис. 1
Рассмотрим комплексное число z=a+bi.
Любому заданному комплексному числу z можно поставить в соответствие точку комплексной плоскости, координатами которой являются числа a и b - (a,b).
Любой заданной точке (x,y) плоскости можно поставить в соответствие комплексное число z=x+yi.
Соединяя точку, изображающую комплексное число, с началом координат O(0;0), получим некоторый вектор →OM. Иногда удобнее считать геометрическим изображением заданного комплексного числа z=a+bi вектор →OM=(a,b).
Рис. 2
Изобразить на комплексной плоскости числа z1=3,z2=2i,z3=3+2i.
Решение:
Для заданного комплексного числа z1=3 имеем Rez=3,Imz=0 или (3;0).
Для заданного комплексного числа z2=2i имеем Rez=0,Imz=2 или (0;2).
Для заданного комплексного числа z3=3+2i имеем Rez=3,Imz=2 или (3;2).
Отмечая соответствующие точки на плоскости, получим изображение комплексных чисел (рис.3)
Рис. 3
Пример 2.Сопоставить заданным точкам на комплексной плоскости соответствующие комплексные числа.
Рис. 4
Решение:
Для точки M1(6;0) имеем Rez=6,Imz=0. Запишем соответствующее комплексное число: z1=6.
Для точки M21(0;4) имеем Rez=0,Imz=4. Запишем соответствующее комплексное число: z2=4i.
Для точки M3(6;4) имеем Rez=6,Imz=4. Запишем соответствующее комплексное число: z3=6+4i.
Для точки M3(−4;1) имеем Rez=−4,Imz=1. Запишем соответствующее комплексное число: z4=−4+i.
Длина радиус-вектора, который изображает заданное комплексное число z=a+bi, называется модулем данного комплексного числа.
Модуль заданного комплексного числа вычисляется по следующей формуле:
r=|z|=|a+bi|=√a2+b2.Вычислить модуль заданных комплексных чисел z1=3,z2=2i,z3=3+2i.
Решение:
Модуль комплексного числа z=a+bi вычислим по формуле: r=√a2+b2
Для заданного комплексного числа z1=3 получим r1=|z1|=|3+0i|=√32+02=√9=3
Для заданного комплексного числа z2=2i получим r2=|z2|=|0+2i|=√02+22=√4=2
Для заданного комплексного числа z3=3+2i получим r3=|z3|=|3+2i|=√32+22=√9+4=√13
Угол φ, образованный положительным направлением вещественной оси и радиус-вектором →OM, который соответствует заданному комплексному числу z=a+bi, называется аргументом данного числа и обозначается argz.
Аргумент вещественных чисел равен соответственно 0 для положительного числа, π для отрицательного числа. Аргумент чисто мнимых чисел равен соответственно π2 с положительной мнимой частью, 3π2 с отрицательной мнимой частью.
Изобразить на комплексной плоскости числа, для которых:
\[1) r=3,\arg z=0; 2) r=2,\arg z=\pi ; 3) r=1,\arg z=\frac{\pi }{2} ; 4) r=1,\arg z=\frac{3\pi }{2} ; 5) r=2\sqrt{2} ,\arg z=\frac{\pi }{4}
Решение:
- Для r=3,argz=0 имеем положительное вещественное число. Числу соответствует точка (3;0).
- Для r=2,argz=π имеем отрицательное вещественное число. Числу соответствует точка (−2;0).
- Для r=1,argz=π2 имеем число с положительной мнимой частью. Числу соответствует точка (0;1).
- Для r=1,argz=3π2 имеем число с отрицательной мнимой частью. Числу соответствует точка (0;−1).
- Для r=2√2,argz=π4 имеем радиус-вектор длинной r=2√2 и составляющий угол π4 с положительным направлением действительной оси.
Изобразим все числа на комплексной плоскости (рис.5).
Рис. 5