Processing math: 100%
Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Геометрическая интерпретация комплексного числа

Любое комплексное число можно изобразить на плоскости, которую принято называть комплексной плоскостью. Комплексная плоскость аналогична прямоугольной декартовой системе координат, исключение составляют только названия осей:

  • действительная ось (соответствует оси абсцисс);
  • мнимая ось (соответствует оси ординат).

Общий вид комплексной плоскости представлен на рис.1.

Общий вид комплексной плоскости

Рис. 1

Рассмотрим комплексное число z=a+bi.

Утверждение

Любому заданному комплексному числу z можно поставить в соответствие точку комплексной плоскости, координатами которой являются числа a и b - (a,b).

Обратное утверждение

Любой заданной точке (x,y) плоскости можно поставить в соответствие комплексное число z=x+yi.

Соединяя точку, изображающую комплексное число, с началом координат O(0;0), получим некоторый вектор OM. Иногда удобнее считать геометрическим изображением заданного комплексного числа z=a+bi вектор OM=(a,b).

Комплексные числа

Рис. 2

Пример 1

Изобразить на комплексной плоскости числа z1=3,z2=2i,z3=3+2i.

Решение:

Для заданного комплексного числа z1=3 имеем Rez=3,Imz=0 или (3;0).

Для заданного комплексного числа z2=2i имеем Rez=0,Imz=2 или (0;2).

Для заданного комплексного числа z3=3+2i имеем Rez=3,Imz=2 или (3;2).

Отмечая соответствующие точки на плоскости, получим изображение комплексных чисел (рис.3)

Отмечая соответствующие точки на плоскости, получим изображение комплексных чисел

Рис. 3

Пример 2.

Сопоставить заданным точкам на комплексной плоскости соответствующие комплексные числа.

Сопоставить заданным точкам на комплексной плоскости соответствующие комплексные числа

Рис. 4

Решение:

Для точки M1(6;0) имеем Rez=6,Imz=0. Запишем соответствующее комплексное число: z1=6.

Для точки M21(0;4) имеем Rez=0,Imz=4. Запишем соответствующее комплексное число: z2=4i.

Для точки M3(6;4) имеем Rez=6,Imz=4. Запишем соответствующее комплексное число: z3=6+4i.

Для точки M3(4;1) имеем Rez=4,Imz=1. Запишем соответствующее комплексное число: z4=4+i.

«Геометрическая интерпретация комплексного числа» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Найти
Определение 1

Длина радиус-вектора, который изображает заданное комплексное число z=a+bi, называется модулем данного комплексного числа.

Модуль заданного комплексного числа вычисляется по следующей формуле:

r=|z|=|a+bi|=a2+b2.
Пример 3

Вычислить модуль заданных комплексных чисел z1=3,z2=2i,z3=3+2i.

Решение:

Модуль комплексного числа z=a+bi вычислим по формуле: r=a2+b2

Для заданного комплексного числа z1=3 получим r1=|z1|=|3+0i|=32+02=9=3

Для заданного комплексного числа z2=2i получим r2=|z2|=|0+2i|=02+22=4=2

Для заданного комплексного числа z3=3+2i получим r3=|z3|=|3+2i|=32+22=9+4=13

Определение 2

Угол φ, образованный положительным направлением вещественной оси и радиус-вектором OM, который соответствует заданному комплексному числу z=a+bi, называется аргументом данного числа и обозначается argz.

Примечание

Аргумент вещественных чисел равен соответственно 0 для положительного числа, π для отрицательного числа. Аргумент чисто мнимых чисел равен соответственно π2 с положительной мнимой частью, 3π2 с отрицательной мнимой частью.

Пример 4

Изобразить на комплексной плоскости числа, для которых:

\[1) r=3,\arg z=0; 2) r=2,\arg z=\pi ; 3) r=1,\arg z=\frac{\pi }{2} ; 4) r=1,\arg z=\frac{3\pi }{2} ; 5) r=2\sqrt{2} ,\arg z=\frac{\pi }{4}

Решение:

  1. Для r=3,argz=0 имеем положительное вещественное число. Числу соответствует точка (3;0).
  2. Для r=2,argz=π имеем отрицательное вещественное число. Числу соответствует точка (2;0).
  3. Для r=1,argz=π2 имеем число с положительной мнимой частью. Числу соответствует точка (0;1).
  4. Для r=1,argz=3π2 имеем число с отрицательной мнимой частью. Числу соответствует точка (0;1).
  5. Для r=22,argz=π4 имеем радиус-вектор длинной r=22 и составляющий угол π4 с положительным направлением действительной оси.

Изобразим все числа на комплексной плоскости (рис.5).

Изобразим все числа на комплексной плоскости

Рис. 5

Дата последнего обновления статьи: 11.11.2024
Получи помощь с рефератом от ИИ-шки
ИИ ответит за 2 минуты
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Геометрическая интерпретация комплексного числа"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant