Любое комплексное число можно изобразить на плоскости, которую принято называть комплексной плоскостью. Комплексная плоскость аналогична прямоугольной декартовой системе координат, исключение составляют только названия осей:
Общий вид комплексной плоскости представлен на рис.1.
Рис. 1
Рассмотрим комплексное число $z=a+bi$.
Любому заданному комплексному числу $z$ можно поставить в соответствие точку комплексной плоскости, координатами которой являются числа $a$ и $b$ - $(a,b)$.
Любой заданной точке $(x,y)$ плоскости можно поставить в соответствие комплексное число $z=x+yi$.
Соединяя точку, изображающую комплексное число, с началом координат $O(0;0)$, получим некоторый вектор $\overrightarrow{OM} $. Иногда удобнее считать геометрическим изображением заданного комплексного числа $z=a+bi$ вектор $\overrightarrow{OM} =(a,b)$.
Рис. 2
Изобразить на комплексной плоскости числа $z_{1} =3,\, \, z_{2} =2i,\, \, \, z_{3} =3+2i$.
Решение:
Для заданного комплексного числа $z_{1} =3$ имеем $Rez=3,Imz=0$ или (3;0).
Для заданного комплексного числа $z_{2} =2i$ имеем $Rez=0,Imz=2$ или (0;2).
Для заданного комплексного числа $z_{3} =3+2i$ имеем $Rez=3,Imz=2$ или (3;2).
Отмечая соответствующие точки на плоскости, получим изображение комплексных чисел (рис.3)
Рис. 3
Пример 2.Сопоставить заданным точкам на комплексной плоскости соответствующие комплексные числа.
Рис. 4
Решение:
Для точки $M_{1} (6;0)$ имеем $Rez=6,Imz=0$. Запишем соответствующее комплексное число: $z_{1} =6$.
Для точки $M_{21} (0;4)$ имеем $Rez=0,Imz=4$. Запишем соответствующее комплексное число: $z_{2} =4i$.
Для точки $M_{3} (6;4)$ имеем $Rez=6,Imz=4$. Запишем соответствующее комплексное число: $\, z_{3} =6+4i$.
Для точки $M_{3} (-4;1)$ имеем $Rez=-4,Imz=1$. Запишем соответствующее комплексное число: $\, z_{4} =-4+i$.
Длина радиус-вектора, который изображает заданное комплексное число $z=a+bi$, называется модулем данного комплексного числа.
Модуль заданного комплексного числа вычисляется по следующей формуле:
$r=|z|=|a+bi|=\sqrt{a^{2} +b^{2} }$.Вычислить модуль заданных комплексных чисел $z_{1} =3,\, \, z_{2} =2i,\, \, \, z_{3} =3+2i$.
Решение:
Модуль комплексного числа $z=a+bi$ вычислим по формуле: $r=\sqrt{a^{2} +b^{2} } $
Для заданного комплексного числа $z_{1} =3$ получим $r_{1} =|z_{1} |=|3+0i|=\sqrt{3^{2} +0^{2} } =\sqrt{9} =3$
Для заданного комплексного числа $\, z_{2} =2i$ получим $r_{2} =|z_{2} |=|0+2i|=\sqrt{0^{2} +2^{2} } =\sqrt{4} =2$
Для заданного комплексного числа $\, z_{3} =3+2i$ получим $r_{3} =|z_{3} |=|3+2i|=\sqrt{3^{2} +2^{2} } =\sqrt{9+4} =\sqrt{13} $
Угол $\varphi $, образованный положительным направлением вещественной оси и радиус-вектором $\overrightarrow{OM} $, который соответствует заданному комплексному числу $z=a+bi$, называется аргументом данного числа и обозначается $\arg z$.
Аргумент вещественных чисел равен соответственно 0 для положительного числа, $\pi $ для отрицательного числа. Аргумент чисто мнимых чисел равен соответственно $\frac{\pi }{2} $ с положительной мнимой частью, $\frac{3\pi }{2} $ с отрицательной мнимой частью.
Изобразить на комплексной плоскости числа, для которых:
\[1) r=3,\arg z=0; 2) r=2,\arg z=\pi ; 3) r=1,\arg z=\frac{\pi }{2} ; 4) r=1,\arg z=\frac{3\pi }{2} ; 5) r=2\sqrt{2} ,\arg z=\frac{\pi }{4}
Решение:
- Для $r=3,\arg z=0$ имеем положительное вещественное число. Числу соответствует точка $(3;0)$.
- Для $r=2,\arg z=\pi $ имеем отрицательное вещественное число. Числу соответствует точка $(-2;0)$.
- Для $r=1,\arg z=\frac{\pi }{2} $ имеем число с положительной мнимой частью. Числу соответствует точка $(0;1)$.
- Для $r=1,\arg z=\frac{3\pi }{2} $ имеем число с отрицательной мнимой частью. Числу соответствует точка $(0;-1)$.
- Для $r=2\sqrt{2} ,\arg z=\frac{\pi }{4} $ имеем радиус-вектор длинной $r=2\sqrt{2} $ и составляющий угол $\frac{\pi }{4} $ с положительным направлением действительной оси.
Изобразим все числа на комплексной плоскости (рис.5).
Рис. 5
