Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Алгебраическая форма комплексного числа

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Все предметы / Математика / Комплексные числа и многочлены / Алгебраическая форма комплексного числа
Определение 1

Выражение вида $z=a+bi$, где $a$ и $b$ - вещественные числа, а $i$ - «мнимая единица», называется комплексным числом $z$. Мнимая единица определяется равенством $i=\sqrt{-1} $ или $i^{2} =-1$.

Определение 2

Запись некоторого комплексного числа $z$ в виде $z=a+bi$ называется алгебраической формой записи (или алгебраической записью) комплексного числа. При этом:

  • вещественная (действительная) часть, обозначение $Rez=a$;
  • мнимая часть, обозначение $Imz=b$.
Замечание 1

В обозначениях действительной и мнимой частей любое комплексное число $z$ можно записать в виде $z=Rez+Imz\cdot i$.

Замечание 2

При $Rez=a=0$ получаем чисто мнимое комплексное число $z=0+bi=bi$.

При $Imz=b=0$ получаем действительное число $z=a+0i=a$.

Определение 3

Комплексное число вида $z=a-bi$ называется числом комплексно-сопряженным для $z=a+bi$.

Представление комплексно-сопряженного числа $z=a-bi$ в алгебраической форме записи имеет вид $z=a+(-b)i$.

Замечание 3

Комплексно-сопряженное число вида $z=a-bi$ часто приводят к алгебраической форме записи $z=a+(-b)i$, однако при решении задач допускается и запись $z=a-bi$.

Пример 1

Представить заданные комплексные числа в алгебраической форме:

1) $z=2-3i$; 2) $z=3\cdot (2+3i)$.

Готовые работы на аналогичную тему

Решение:

Алгебраическая форма записи некоторого комплексного числа имеет вид $z=a+bi$.

1) В исходном комплексном числе $z$ имеем $a=2,b=-3$.

Следовательно, в алгебраической форме число $z$ записывается следующим образом \[z=2+(-3)i.\]

2) Преобразуем исходное число, раскрыв скобки и выполнив необходимые вычисления: \[z=3\cdot (2+3i)=3\cdot 2+3\cdot 3i=6+9i\]

Следовательно, в алгебраической форме число $z$ записывается следующим образом \[z=6+9i.\]

Пример 2

Представить в алгебраической форме заданные комплексные числа, для которых:

\[1) Rez=0,Imz=5; 2) Rez=4,Imz=0; 3) Rez=10,Imz=\sqrt{3} ; 4) Rez=\frac{\sqrt{2} }{2} ,Imz=-\frac{\sqrt{2} }{2} .\]

Решение:

Алгебраическая форма записи некоторого комплексного числа имеет вид $z=a+bi$, где $Rez=a$ и $Imz=b$.

Для $Rez=0,Imz=5$ получаем комплексное число $z=0+5i$.

Для $Rez=4,Imz=0$ получаем комплексное число $z=4+0i$.

Для $Rez=10,Imz=\sqrt{3} $ получаем комплексное число $z=10+\sqrt{3} i$.

Для $Rez=\frac{\sqrt{2} }{2} ,Imz=-\frac{\sqrt{2} }{2} $ получаем комплексное число $z=\frac{\sqrt{2} }{2} +\left(-\frac{\sqrt{2} }{2} \right)i$.

Пример 3

Представить комплексное число $z$ в алгебраической форме: $z=\frac{3-2i}{\sqrt{2} } $.

Решение:

Алгебраическая форма записи некоторого комплексного числа имеет вид $z=a+bi$.

\[z=\frac{3-2i}{\sqrt{2} } =\frac{3}{\sqrt{2} } -\frac{2}{\sqrt{2} } i=\frac{3\sqrt{2} }{2} -\sqrt{2} i=\frac{3\sqrt{2} }{2} +(-\sqrt{2} )i.\]

Следовательно, $z=\frac{3\sqrt{2} }{2} +(-\sqrt{2} )i$ - искомая запись комплексного числа.

Определение 4

Запись комплексного числа $z$ в виде $z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi )$ называется тригонометрической формой записи, где число $r$ - модуль комплексного числа $z$, определяемый по формуле $r=|z|=|a+bi|=\sqrt{a^{2} +b^{2} } $, $\varphi $ - аргумент комплексного числа $z$, определяемый по формуле $\varphi =arctg\frac{b}{a} $.

Алгоритм 1

Чтобы комплексное число $z$, записанное в тригонометрической форме, привести к алгебраической форме записи, необходимо выполнить следующее:

подставить в запись числа соответствующие значения для $\cos \varphi $ и $\sin \varphi $ (использовать таблицы Брадиса);

преобразовать полученное выражение к алгебраической форме записи, выполнив при необходимости соответствующие вычисления.

Пример 4

Представить заданные комплексные числа в алгебраической форме:

\[1) z=3\cdot (\cos 2\pi +i\sin 2\pi ); 2) z=\frac{1}{\sqrt{2} } \cdot (\cos \frac{\pi }{4} +i\sin \frac{\pi }{4} ).\]

Решение:

Алгебраическая форма записи некоторого комплексного числа имеет вид $z=a+bi$.

1) По таблице косинусов и синусов $\cos 2\pi =1;\sin 2\pi =0$.

Подставим значения и выполним преобразования и вычисления: \[z=3\cdot \left(1+0i\right)=3+0\cdot i.\]

Следовательно, $z=3+0\cdot i$ - искомая запись комплексного числа.

2) По таблице косинусов и синусов $\cos \frac{\pi }{4} =\frac{\sqrt{2} }{2} ;\sin \frac{\pi }{4} =\frac{\sqrt{2} }{2} $.

Подставим значения и выполним преобразования и вычисления:

\[z=\frac{1}{\sqrt{2} } \cdot \left(\frac{\sqrt{2} }{2} +i\frac{\sqrt{2} }{2} \right)=\frac{1}{2} +\frac{1}{2} \cdot i.\]

Следовательно, $z=\frac{1}{2} +\frac{1}{2} \cdot i$ - искомая запись комплексного числа.

Определение 5

Запись комплексного числа $z$ в виде $z=r\cdot e^{i\varphi } $ называется показательной формой записи, где число $r$ - модуль комплексного числа $z$, определяемый по формуле $r=|z|=|a+bi|=\sqrt{a^{2} +b^{2} } $, $\varphi $ - аргумент комплексного числа $z$, определяемый по формуле $\varphi =arctg\frac{b}{a} $.

Алгоритм 2

Чтобы комплексное число $z$, записанное в показательной форме, привести к алгебраической форме записи, необходимо выполнить следующее:

  • записать комплексное число в тригонометрической форме;
  • подставить в запись числа соответствующие значения для $\cos \varphi $ и $\sin \varphi $ (использовать таблицы Брадиса);
  • преобразовать полученное выражение к алгебраической форме записи, выполнив при необходимости соответствующие вычисления.
Пример 5

Представить заданные комплексные числа в алгебраической форме:

1)$z=3\cdot e^{\frac{\pi }{3} \cdot i}$ ; 2) $z=6\cdot e^{\pi \cdot i}$.

Решение:

Алгебраическая форма записи некоторого комплексного числа имеет вид $z=a+bi$.

1) Запись числа в тригонометрической форме имеет вид: $z=3\cdot (\cos \frac{\pi }{3} +i\sin \frac{\pi }{3} )$.

По таблице косинусов и синусов $\cos \frac{\pi }{3} =\frac{1}{2} ;\sin \frac{\pi }{3} =\frac{\sqrt{3} }{2} $.

Подставим значения и выполним преобразования и вычисления:

\[z=3\cdot \left(\frac{1}{2} +i\frac{\sqrt{3} }{2} \right)=\frac{3}{2} +\frac{3\sqrt{3} }{2} \cdot i.\]

Следовательно, $z=\frac{3}{2} +\frac{3\sqrt{3} }{2} \cdot i$ - искомая запись комплексного числа.

2) Запись числа в тригонометрической форме имеет вид: $z=6\cdot (\cos \pi +i\sin \pi )$.

По таблице косинусов и синусов $\cos \pi =-1;\sin \pi =0$.

Подставим значения и выполним преобразования и вычисления:

\[z=3\cdot \left(-1+0\cdot i\right)=-1+0\cdot i.\]

Следовательно, $z=-1+0\cdot i$ - искомая запись комплексного числа.

Вывод

Таким образом, можно сделать вывод о том, что в каком бы виде не было записано комплексное число $z$, его всегда можно представить в алгебраической форме записи $z=a+bi$.

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис