Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Комплексно сопряженные числа

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис
Комплексно сопряженные числа
Содержание статьи
Определение 1

Выражение вида $z=a+bi$, где $a$ и $b$ - вещественные числа, а $i$ - «мнимая единица», называется комплексным числом $z$. Мнимая единица определяется равенством $i=\sqrt{-1} $ или $i^{2} =-1$.

Определение 2

Запись некоторого комплексного числа $z$ в виде $z=a+bi$ называется алгебраической формой записи (или алгебраической записью) комплексного числа. При этом:

  • $a$ - вещественная (действительная) часть, обозначение $Rez=a$;
  • $b$ - мнимая часть, обозначение $Imz=b$.
Пример 1

Выписать действительную и мнимую части для заданных комплексных чисел:

1) $z_{1} =5\sqrt{2} +3i$; 2) $z_{2} =13$; 3) $z_{3} =-3\sqrt{5} \cdot i$; 4) $z_{4} =3\sqrt{2} -6i$

Решение:

Для комплексного числа $z=a+bi$ $Rez=a$, $Imz=b$.

Для числа $z_{1} =5\sqrt{2} +3i$ имеем $Rez=5\sqrt{2} ,Imz=3$.

Для числа $z_{2} =13$ имеем $Rez=13,Imz=0$.

Для числа $z_{3} =-3\sqrt{5} \cdot i$ имеем $Rez=0,Imz=-3\sqrt{5} $.

Для числа $z_{4} =3\sqrt{2} -6i$ имеем $Rez=3\sqrt{2} ,Imz=-6$.

Комплексная плоскость

Любое комплексное число можно изобразить на плоскости, которую принято называть комплексной плоскостью. Комплексная плоскость аналогична прямоугольной декартовой системе координат, исключение составляют только названия осей:

  • действительная ось (соответствует оси абсцисс);
  • мнимая ось (соответствует оси ординат).
  • Общий вид комплексной плоскости представлен на рис.1.

    Общий вид комплексной плоскости

    Рис. 1

    Рассмотрим комплексное число $z=a+bi$ или $z=Rez+Imz\cdot i$.

Утверждение

Любому заданному комплексному числу $z$ можно поставить в соответствие точку комплексной плоскости, координатами которой являются числа $a$ и $b$ - $(a,b)$ (числа $Rez$ и $Imz$ - $(Rez;Imz)$).

Обратное утверждение

Любой заданной точке $(x,y)$ плоскости можно поставить в соответствие комплексное число $z=x+yi$ ($Rez=x$,$Imz=y$).

Пример 2

Зная действительную и мнимую части комплексного числа, записать данное число:

1) $Rez=\sqrt{3}$,$Imz=1$; 2) $Rez=8$,$Imz=0$; 3) $Rez=0$,$Imz=-\sqrt{3}$ ; 4) $Rez=3$,$Imz=6$

Решение:

Для $Rez=a$, $Imz=b$ соответствует запись комплексного числа $z=a+bi$ ($z=Rez+Imz\cdot i$).

Для числа $Rez=\sqrt{3} ,Imz=1$ имеем $z_{1} =\sqrt{3} +1\cdot i$.

Для числа $Rez=8,Imz=0$ имеем $z_{2} =8+0\cdot i=8$.

Для числа $Rez=0,Imz=-\sqrt{3} $ имеем $z_{3} =0-\sqrt{3} \cdot i=-\sqrt{3} \cdot i$.

Для числа $Rez=3,Imz=6$ имеем $z_{4} =3+6\cdot i$.

Пример 3

Зная действительную и мнимую части комплексного числа, изобразить данное число на комплексной плоскости:

1) $Rez=3,Imz=0$; 2) $Rez=0,Imz=2$; 3) $Rez=3,Imz=2$; 4) $Rez=-2,Imz=1$.

Решение:

Изобразим на комплексной плоскости числа, соответствующие записи $Rez=x,Imz=y$.

Изобразим на комплексной плоскости числа, соответствующие записи

Рис. 2

Определение 3

Комплексное число вида $\overline{z}=a-bi$ называется числом комплексно-сопряженным для $z=a+bi$.

Пример 4

Записать комплексно-сопряженные числа для заданных комплексных чисел:

1) $z_{1} =\sqrt{2} +5i$; 2) $z_{2} =3$; 3) $z_{3} =-\sqrt{5} \cdot i$; 4) $z_{4} =3\sqrt{2} -15i$

Решение:

Для комплексного числа $z=a+bi$ комплексно-сопряженным будет являться число $\overline{z}=a-bi$.

Для числа $z_{1} =\sqrt{2} +5i$ имеем $a=\sqrt{2} ,b=5$, следовательно, получим $\overline{z_{1} }=\sqrt{2} -5i$.

Для числа $z_{2} =3$ имеем $a=3,b=0$, следовательно, получим $\overline{z_{2} }=3$.

Для числа $z_{3} =-\sqrt{5} i$ имеем $a=0,b=-\sqrt{5} $, следовательно, получим $\overline{z_{3} }=\sqrt{5} i$.

Для числа $z_{4} =3\sqrt{2} -15i$ имеем $a=3\sqrt{2} ,b=-15$, следовательно, получим $\overline{z_{4} }=3\sqrt{2} +15i$.

Примечание 1

Комплексно-сопряженное число $\overline{z}=a-bi$ изображается на комплексной плоскости точкой, симметричной относительно действительной оси, для точки, изображающей некоторое комплексное число $z=a+bi$.

Пример 5

Изобразить на комплексной плоскости числа $z_{1} =3+i,\, \, z_{2} =-2,\, \, \, z_{3} =i,z_{4} =-2-2i$ и комплексно-сопряженные к ним.

Решение:

Для комплексного числа $z=a+bi$ комплексно-сопряженным будет являться число $\overline{z}=a-bi$.

Для числа $z_{1} =3+i$ получим $\overline{z_{1} }=3-i$.

Для числа $z_{2} =-2$ получим $\overline{z_{2} }=-2$.

Для числа $z_{3} =i$ получим $\overline{z_{3} }=-i$.

Для числа $z_{4} =-2-2i$ получим $\overline{z_{4} }=-2+2i$.

Значение действительной части откладывается по оси $Rez$, а мнимой части -- по оси $Imz$.

Отмечая соответствующие точки на плоскости, получим изображение комплексных чисел (рис.3)

Изображение комплексных чисел

Рис. 3

Примечание 2

Если комплексное число изображается точкой на вещественной оси, то комплексно-сопряженное число изображается той же самой точкой.

Пример 6

Изобразить на комплексной плоскости числа комплексно-сопряженные к отмеченным.

Решение:

Значение действительной части откладывается по оси $Rez$, а мнимой части -- по оси $Imz$.

Изображая комплексно-сопряженные числа на комплексной плоскости, воспользуемся примечаниями 1 и 2.

Изображая комплексно-сопряженные числа на комплексной плоскости, воспользуемся примечаниями 1 и 2

Рис. 4