Выражение вида $z=a+bi$, где $a$ и $b$ - вещественные числа, а $i$ - «мнимая единица», называется комплексным числом $z$. Мнимая единица определяется равенством $i=\sqrt{-1} $ или $i^{2} =-1$.
Запись некоторого комплексного числа $z$ в виде $z=a+bi$ называется алгебраической формой записи (или алгебраической записью) комплексного числа. При этом:
- вещественная (действительная) часть, обозначение $Rez=a$;
- мнимая часть, обозначение $Imz=b$.
В обозначениях действительной и мнимой частей любое комплексное число $z$ можно записать в виде $z=Rez+Imz\cdot i$.
При $Rez=a=0$ получаем чисто мнимое комплексное число $z=0+bi=bi$.
При $Imz=b=0$ получаем действительное число $z=a+0i=a$.
Комплексное число вида $z=a-bi$ называется числом комплексно-сопряженным для $z=a+bi$.
Представление комплексно-сопряженного числа $z=a-bi$ в алгебраической форме записи имеет вид $z=a+(-b)i$.
Комплексно-сопряженное число вида $z=a-bi$ часто приводят к алгебраической форме записи $z=a+(-b)i$, однако при решении задач допускается и запись $z=a-bi$.
Представить заданные комплексные числа в алгебраической форме:
1) $z=2-3i$; 2) $z=3\cdot (2+3i)$.Решение:
Алгебраическая форма записи некоторого комплексного числа имеет вид $z=a+bi$.
1) В исходном комплексном числе $z$ имеем $a=2,b=-3$.Следовательно, в алгебраической форме число $z$ записывается следующим образом
2) Преобразуем исходное число, раскрыв скобки и выполнив необходимые вычисления:
Следовательно, в алгебраической форме число $z$ записывается следующим образом
Представить в алгебраической форме заданные комплексные числа, для которых:
Решение:
Алгебраическая форма записи некоторого комплексного числа имеет вид $z=a+bi$, где $Rez=a$ и $Imz=b$.
Для $Rez=0,Imz=5$ получаем комплексное число $z=0+5i$.
Для $Rez=4,Imz=0$ получаем комплексное число $z=4+0i$.
Для $Rez=10,Imz=\sqrt{3} $ получаем комплексное число $z=10+\sqrt{3} i$.
Для $Rez=\frac{\sqrt{2} }{2} ,Imz=-\frac{\sqrt{2} }{2} $ получаем комплексное число $z=\frac{\sqrt{2} }{2} +\left(-\frac{\sqrt{2} }{2} \right)i$.
Представить комплексное число $z$ в алгебраической форме: $z=\frac{3-2i}{\sqrt{2} } $.
Решение:
Алгебраическая форма записи некоторого комплексного числа имеет вид $z=a+bi$.
Следовательно, $z=\frac{3\sqrt{2} }{2} +(-\sqrt{2} )i$ - искомая запись комплексного числа.
Запись комплексного числа $z$ в виде $z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi )$ называется тригонометрической формой записи, где число $r$ - модуль комплексного числа $z$, определяемый по формуле $r=|z|=|a+bi|=\sqrt{a^{2} +b^{2} } $, $\varphi $ - аргумент комплексного числа $z$, определяемый по формуле $\varphi =arctg\frac{b}{a} $.
Чтобы комплексное число $z$, записанное в тригонометрической форме, привести к алгебраической форме записи, необходимо выполнить следующее:
подставить в запись числа соответствующие значения для $\cos \varphi $ и $\sin \varphi $ (использовать таблицы Брадиса);
преобразовать полученное выражение к алгебраической форме записи, выполнив при необходимости соответствующие вычисления.
Представить заданные комплексные числа в алгебраической форме:
Решение:
Алгебраическая форма записи некоторого комплексного числа имеет вид $z=a+bi$.
1) По таблице косинусов и синусов $\cos 2\pi =1;\sin 2\pi =0$.
Подставим значения и выполним преобразования и вычисления: \[z=3\cdot \left(1+0i\right)=3+0\cdot i.\]
Следовательно, $z=3+0\cdot i$ - искомая запись комплексного числа.
2) По таблице косинусов и синусов $\cos \frac{\pi }{4} =\frac{\sqrt{2} }{2} ;\sin \frac{\pi }{4} =\frac{\sqrt{2} }{2} $.
Подставим значения и выполним преобразования и вычисления:
Следовательно, $z=\frac{1}{2} +\frac{1}{2} \cdot i$ - искомая запись комплексного числа.
Запись комплексного числа $z$ в виде $z=r\cdot e^{i\varphi } $ называется показательной формой записи, где число $r$ - модуль комплексного числа $z$, определяемый по формуле $r=|z|=|a+bi|=\sqrt{a^{2} +b^{2} } $, $\varphi $ - аргумент комплексного числа $z$, определяемый по формуле $\varphi =arctg\frac{b}{a} $.
Чтобы комплексное число $z$, записанное в показательной форме, привести к алгебраической форме записи, необходимо выполнить следующее:
- записать комплексное число в тригонометрической форме;
- подставить в запись числа соответствующие значения для $\cos \varphi $ и $\sin \varphi $ (использовать таблицы Брадиса);
- преобразовать полученное выражение к алгебраической форме записи, выполнив при необходимости соответствующие вычисления.
Представить заданные комплексные числа в алгебраической форме:
1)$z=3\cdot e^{\frac{\pi }{3} \cdot i}$ ; 2) $z=6\cdot e^{\pi \cdot i}$.
Решение:
Алгебраическая форма записи некоторого комплексного числа имеет вид $z=a+bi$.
1) Запись числа в тригонометрической форме имеет вид: $z=3\cdot (\cos \frac{\pi }{3} +i\sin \frac{\pi }{3} )$.
По таблице косинусов и синусов $\cos \frac{\pi }{3} =\frac{1}{2} ;\sin \frac{\pi }{3} =\frac{\sqrt{3} }{2} $.
Подставим значения и выполним преобразования и вычисления:
Следовательно, $z=\frac{3}{2} +\frac{3\sqrt{3} }{2} \cdot i$ - искомая запись комплексного числа.
2) Запись числа в тригонометрической форме имеет вид: $z=6\cdot (\cos \pi +i\sin \pi )$.
По таблице косинусов и синусов $\cos \pi =-1;\sin \pi =0$.
Подставим значения и выполним преобразования и вычисления:
Следовательно, $z=-1+0\cdot i$ - искомая запись комплексного числа.
Таким образом, можно сделать вывод о том, что в каком бы виде не было записано комплексное число $z$, его всегда можно представить в алгебраической форме записи $z=a+bi$.
