Комплексные числа и многочлены

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

После долгих сомнений, которые длились более столетия, известные математики пришли к единому заключению, что необходимо ввести некоторый новый вид чисел, который назвали комплексными числами.

Определение 1

Выражение вида $z=a+bi$ , где $a$ и $b$ - вещественные числа, а $i$ - «мнимая единица», называется комплексным числом $z$ . Мнимая единица определяется равенством $i=\sqrt{-1}$ или $i^{2} =-1$ .

Определение 2

Комплексное число вида $\overline{z}=a-bi$ называется числом комплексно-сопряженным для $z=a+bi$ .

Пример 1

Записать комплексно-сопряженные числа для заданных комплексных чисел:

$1) z_{1} =12+3i; 2) z_{2} =5; 3) z_{3} =-2i.$

Решение:

Для комплексного числа $z=a+bi$ комплексно-сопряженным будет являться число $\overline{z}=a-bi$ .

Для числа $z_{1} =12+3i$ получим $\overline{z_{1} }=12-3i$ .

Для числа $z_{2} =5$ получим $\overline{z_{2} }=5$ .

Для числа $z_{3} =-2i$ получим $\overline{z_{3} }=2i$ .

Определение 3

Некоторые комплексные числа $z_{1} =a_{1} +b_{1} i$ и $z_{2} =a_{2} +b_{2} i$ называются равными, если выполняются следующие равенства $a_{1} =a_{2} ,b_{1} =b_{2}$ . Обозначение: $z_{1} =z_{2}$ .

Любое комплексное число можно изобразить на плоскости, которую принято называть комплексной плоскостью. Комплексная плоскость аналогична прямоугольной декартовой системе координат, исключение составляют только названия осей:

действительная ось (соответствует оси абсцисс);
мнимая ось (соответствует оси ординат) (рис.1).

Мнимая ось

Рис. 1

Выделяют три формы представления (записи) комплексных чисел:

алгебраическая;
тригонометрическая;
показательная.

Алгебраическая форма записи

Запись некоторого комплексного числа $z$ в виде $z=a+bi$ называется алгебраической формой записи (или алгебраической записью) комплексного числа. При этом:

$a$ - вещественная (действительная) часть, обозначение $Rez=a$ ;

$b$ - мнимая часть, обозначение $Imz=b$ .

Тригонометрическая форма записи

Запись комплексного числа $z$ в виде $z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi )$ называется тригонометрической формой записи, где число $r$ - модуль комплексного числа $z$ , определяемый формулой $r=|z|=|a+bi|=\sqrt{a^{2} +b^{2} }$ , а $\varphi$ - аргумент комплексного числа $z$ , определяемый по формуле $\varphi =arctg\frac{b}{a}$ .

Показательная форма записи

Запись комплексного числа $z$ в виде $z=r\cdot e^{i\varphi }$ называется показательной формой записи, где число $r$ - модуль комплексного числа $z$ , определяемый по формуле $r=|z|=|a+bi|=\sqrt{a^{2} +b^{2} }$ , $\varphi$ - аргумент комплексного числа $z$ , определяемый по формуле $\varphi =arctg\frac{b}{a}$ .

Над комплексными числами можно выполнять следующие действия: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня.

Операции над комплексными числами

Сумма

Суммой двух заданных комплексных чисел $z_{1} =a_{1} +b_{1} i$ и $z_{2} =a_{2} +b_{2} i$ является комплексное число, которое определяется равенством $z_{1} +z_{2} =(a_{1} +b_{1} i)+(a_{2} +b_{2} i)=(a_{1} +a_{2} )+(b_{1} +b_{2} )\cdot i.$

Разность

Разностью двух заданных комплексных чисел $z_{1} =a_{1} +b_{1} i$ и $z_{2} =a_{2} +b_{2} i$ является комплексное число, которое определяется равенством $z_{1} -z_{2} =(a_{1} +b_{1} i)-(a_{2} +b_{2} i)=(a_{1} -a_{2} )+(b_{1} -b_{2} )\cdot i.$

Произведение

Произведением двух заданных комплексных чисел $z_{1} =a_{1} +b_{1} i$ и $z_{2} =a_{2} +b_{2} i$ является комплексное число, которое получается перемножением данных чисел по правилам алгебры с учетом того, что $i^{2} =-1$ .

Произведением двух заданных комплексных чисел $z_{1} =r_{1} \cdot (\cos \varphi _{1} +i\sin \varphi _{1} )$ и $z_{2} =r_{2} \cdot (\cos \varphi _{2} +i\sin \varphi _{2} )$ является комплексное число, которое определяется равенством $z_{1} \cdot z_{2} =r_{1} \cdot r_{2} \cdot [\cos (\varphi _{1} +\varphi _{2} )+i\sin (\varphi _{1} +\varphi _{2} )].$

Частное

Частным двух заданных комплексных чисел $z_{1} =r_{1} \cdot (\cos \varphi _{1} +i\sin \varphi _{1} )$ и $z_{2} =r_{2} \cdot (\cos \varphi _{2} +i\sin \varphi _{2} )$ является комплексное число, которое определяется равенством $z_{1} \cdot z_{2} =\frac{r_{1} }{r_{2} } \cdot [\cos (\varphi _{1} -\varphi _{2} )+i\sin (\varphi _{1} -\varphi _{2} )].$

Степень порядка

Степенью порядка $n$ комплексного числа $z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi )$ является комплексное число, которое определяется равенством $z^{n} =r^{n} \cdot (\cos n\varphi +i\sin n\varphi _{1} ).$

Данная формула называется формулой Муавра.

Корень

Корнем $n$ -й степени комплексного числа $z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi )$ является комплексное число, которое определяется равенством $\sqrt[{n}]{z} =\sqrt[{n}]{r} \cdot (\cos \frac{\varphi +2\pi k}{n} +i\sin \frac{\varphi +2\pi k}{n} ),\, \, \, k=0..n-1.$

«Комплексные числа и многочлены» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Помощь с рефератом от нейросети

Написать ИИ

Пример 2

Выполнить действия: 1) $z_{1} +z_{2}$ ; 2) $z_{1} -z_{2}$ ; 3) $z_{1} \cdot z_{2}$ для комплексных чисел $z_{1} =1+3i$ и $z_{2} =1-2i$ .

Решение:

$1) z_{1} +z_{2} =(1+3i)+(1-2i)=(1+1)+(3-2)i=2+i$

$2) z_{1} +z_{2} =(1+3i)-(1-2i)=(1-1)-(3+2)i=0-5i=-5i$

$3) z_{1} \cdot z_{2} =(1+3i)\cdot (1-2i)=1\cdot 1+1\cdot 3i-1\cdot 2i-3\cdot 2\cdot i^{2} =1+3i-2i+6=7+i$

Пример 3

Выполнить умножение и деление заданных комплексных чисел:

$z_{1} =\sqrt{3} \cdot (\cos \pi +i\cdot \sin \pi )$ и $z_{2} =\sqrt{3} \cdot (\cos \pi +i\cdot \sin \pi )$ .

Решение:

1) ${z_{1} \cdot z_{2} =\left(\sqrt{3} \cdot (\cos \pi +i\cdot \sin \pi )\right)\cdot \left(\sqrt{3} \cdot (\cos \pi +i\cdot \sin \pi )\right)=\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot [\cos (\pi +\pi )+i\cdot \sin (\pi +\pi )]=} \\ {=3\cdot (\cos 2\pi +i\cdot \sin 2\pi )}$

2) ${z_{2} =\left(\sqrt{3} \cdot (\cos \pi +i\cdot \sin \pi )\right)\div \left(\sqrt{3} \cdot (\cos \pi +i\cdot \sin \pi )\right)=\frac{\sqrt{3} }{\sqrt{3} } \cdot [\cos (\pi -\pi )+i\cdot \sin (\pi -\pi )]=} \\ {=1\cdot (\cos 0+i\cdot \sin 0)=\cos 0+i\cdot \sin 0}$

Многочлен

Многочленом $n$ -ой степени называется функция

$P_{n} (z)=a_{n} z^{n} +a_{n-1} z^{n-1} +a_{n-2} z^{n-2} +...+a_{1} z+a_{0} ,$

где коэффициенты $a_{0} ,a_{1} ,a_{2} ,...,a_{n-1} ,a_{n}$ -- постоянные комплексные числа, $a_{n} \ne 0$ , $z\in Z$ -- комплексная переменная. Число $z_{0}$ , при котором заданный многочлен принимает нулевое значение ( $P_{n} (z_{0} )=0$ ), называется корнем этого многочлена.

Любой многочлен степени $n$ может быть представлен как разложение многочлена на $n$ линейных сомножителей вида $z-a$ и множитель, который равен коэффициенту при $z^{n}$ :

$P_{n} (z)=A_{0} \cdot (z-a_{1} )\cdot (z-a_{2} )\cdot ...\cdot (z-a_{n} ),$

где $a_{1} ,a_{2} ,...,a_{n}$ -- корни многочлена.

Если в разложении многочлена степени $n$ на линейные множители

$P_{n} (x)=A_{0} \cdot (z-a_{1} )\cdot (z-a_{2} )\cdot ...\cdot (z-a_{n} ), (*)$

некоторые линейные сомножители оказываются одинаковыми, то данные множители можно объединить, тогда разложение заданного многочлена на сомножители будет иметь следующий вид:

$P_{n} (z)=A_{0} \cdot (z-a_{1} )^{k_{1} } \cdot (z-a_{2} )^{k_{2} } \cdot ...\cdot (z-a_{n} )^{k_{m} } (k_{1} +k_{2} +...+k_{m} =n).$

В формуле (*) корни многочлена $a_{1} ,a_{2} ,...,a_{n}$ могут быть не только вещественными, но и комплексными числами.

Для многочленов определены следующие операции: вычитание, сложение, умножение. Операция деления многочленов определена не для любых двух многочленов, однако, как и для целых чисел, имеется возможность выполнить деление с остатком.