Интеграл от cosx

$\int {\frac{\cos^3x+1}{1+\cos x}dx}.$

Для решения нужно вспомнить:

1. $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$;
2. $\cos^2x=\frac{1+\cos2x}{2}$;
3. свойства интегралов.

$\int {\frac{\cos^3x+1}{1+\cos x}dx} = \int{\frac{(\cos x+1)(\cos^2x-\cos x+1)}{1+\cos x}dx}=\int{(\frac{1+\cos2x}{2}-\cos x+1)dx}=\int{(\frac{3}{2}+\frac{\cos2x}{2}-\cos x)dx}=\frac{3x}{2}+\frac{\sin2x}{4}-\sin x+C.$

$\int\limits_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \cos xdx.$

Известно, что определённые интегралы находятся по формуле $\int\limits_a^b f(x)dx=F(b)-F(a).$

$\int\limits_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \cos xdx=\sin \frac{\pi}{2}-\sin \frac{\pi}{6}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.$

$\int \sin^3 x \cos^3xdx.$

Применим подстановку $\sin x=t, \cos xdx=dt; \cos^2x=1-t^2$:

$\int t^3(1-t^2)dt=\int(t^3-t^5)dt=\frac{t^4}{4}-\frac{t^6}{6}+C=\frac{sin^4x}{4}-\frac{sin^6x}{6}+C.$