Справочник Автор24
Статьи от экспертов
Математика
Функция распределения вероятностей случайной величины

Функция распределения вероятностей случайной величины

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Определение 1

Случайная величина -- величина, которая в испытании может принимать то или иное неизвестное заранее значение.

Пример 1

Пусть в мешке находятся 10 пронумерованных шариков. Вытаскивается 1 шарик. Тогда случайная величина может принимать значения от 1 до 10.

Пример 2

Пусть в классе 30 учеников. Тогда значение случайной величины количества учеников на первом уроке принимает значения от 1 до 30.

Определение 2

Случайная величина называется дискретной, если множество его значений не более чем счётно.

Определение 3

Случайная величина называется непрерывной, если она полностью заполняет какой-либо числовой промежуток.

Определение 4

Случайная величина называется смешанной, если она не является ни дискретной, ни непрерывной.

Определение 5

Закон распределения случайной величины -- соответствие между значениями дискретных случайных величин и их вероятностями.

Чаще всего закон распределения записывается в виде таблицы, которая называется рядом распределения.

Таблица 1. Ряд распределения случайной величины

Ряд распределения случайной величины

Еще один способ задания закона распределения случайной величины -- построение графика функции распределения вероятностей.

Функция распределения вероятностей.

Определение 6

Функция распределения вероятностей (или накопленная частота) $F_{\xi }(x)$ случайной величины $\xi$ -- это функция, ставящая в соответствие любому значению $x$ величину вероятности события, то есть

\[F_{\xi }\left(x\right)=P\{\xi

Далее индекс $\xi$ будем опускать.

Функция распределения вероятностей

Рассмотрим ряд задач по этой теме.

Задача 1

Найти функцию распределения случайной величины $X,$ заданную следующим рядом распределения и построить ее график.

Функция распределения случайной величины X

Решение: Пусть $x\le 1$ , тогда $F\left(x\right)=0$ , так как выполнение неравенства $x 3$ , тогда $F\left(x\right)=p_1+p_2+p_3=1$ .

Получаем следующую функцию распределения вероятностей:

$F\left(x\right)=\left\{ \begin{array}{c} 0,\ если\ x\le 1, \\ 0,2,\ если\ 1 3. \end{array} \right.$

Изобразим график полученной функции

Функция распределения вероятностей

Задача 2

Найти коэффициент $\alpha$ в функции распределения случайной величины, заданной выражением

$F\left(x\right)=\left\{ \begin{array}{c} 0,\ если\ x\frac{11\pi }{6}. \end{array} \right.$

Решение.

При $x=\frac{7\pi }{6}$ функция распределения равна единице, следовательно, имеем

$\alpha cos\left(\frac{7\pi }{6}-\frac{\pi }{6}\right)+2=1,$

$\alpha cos\pi =-1,$

$\alpha =1.$

Функция имеет вид:

$F\left(x\right)=\left\{ \begin{array}{c} 0,\ если\ x\frac{11\pi }{6}. \end{array} \right.$

Ответ. 1.

Плотность вероятности

Рассмотрим еще одно понятие, которое связано с понятием функции распределения вероятностей.

Определение 7

Пусть функция распределения вероятностей имеет непрерывную производную $F'\left(x\right)=\varphi (x)$ . Функция $\varphi (x)$ называется плотностью вероятности.

Задача 3

Продолжительность срока реализации продукции имеет следующую плотность распределения:

$F\left(x\right)=\left\{ \begin{array}{c} \frac{40000}{x^3},если\ x>200, \\ 0,\ если\ x\le 200. \end{array} \right.$

Найти вероятность того, что продукция будет реализована позже 250 часов.
Найти вероятность того, что продукция будет реализована позже 300, но не позже 500 часов.

Решение.

Обозначим срок реализации товара через $X$ .Так как $F'\left(x\right)=\varphi (x)$ и $P\left(x>250\right)=1-P\left(x $F\left(x\right)=\int\limits^x_{-\infty }{\varphi (t)dt}=\int\limits^x_{200}{\frac{40000}{t^3}}dt=1-\frac{20000}{x^2}$ $P\left(x>250\right)=1-1+\frac{20000}{62500}=0,24$
$P\left(300