Рассмотрим функцию, заданную уравнением
Если каждому x значению независимой переменной из некоторой области ставится в соответствие одно или несколько значений y, которые удовлетворяют уравнению F(x,y)=C, то говорят, что данное уравнение неявно определяет одну или несколько однозначных функций y от одной переменной x в данной области.
Пусть непрерывная функция y от переменной x задана неявно уравнением вида
F(x,y)=C,где F(x,y),F′x(x,y),F′y(x,y) являются непрерывными функциями в некоторой области D, которая содержит точку (x,y) с координатами, удовлетворяющими уравнению F(x,y)=C. Кроме того, F′y(x,y)≠0.
Тогда данная функция y от переменной x имеет производную, которая определяется равенством
y′x=F′x(x,y)F′y(x,y).Вычислить производную от функции заданной неявно
x3+3y2−12=0.Решение:
Из уравнения получаем, что
F(x,y)=x3+3y2−12.Вычислим частные производные
F′x(x,y)=3x2 и F′y(x,y)=6y.
Следовательно,
y′x=F′x(x,y)F′y(x,y)=3x26y.Вычислить производную от функции заданной неявно
lnx3+3y+2=0.Решение:
Из уравнения получаем, что
F(x,y)=lnx3+3y+2.Вычислим частные производные
F′x(x,y)=1x3⋅3x2=3x и F′y(x,y)=3.
Следовательно,
y′x=F′x(x,y)F′y(x,y)=3x3=33x=1x.Рассмотрим функцию двух переменных, заданную уравнением
Если для каждой пары (x,y) значений двух независимых переменных из некоторой области ставится в соответствие одно или несколько значений z, которые удовлетворяют уравнению F(x,y,z)=C, то говорят, что данное уравнение неявно определяет одну или несколько однозначных функций z от двух переменных (x,y) в данной области.
Для функции двух переменных находим частные производные ∂z∂x и ∂z∂y, причем при нахождении ∂z∂x считаем y постоянным, а при нахождении ∂z∂y - x постоянным.
Формулы для определения частных производных имеют вид:
z′x=−∂F∂x∂F∂z и z′y=−∂F∂y∂F∂z.
При определении частных производных считается, что ∂F∂z≠0.
Вычислить производную от функции заданной неявно
x3+3y2+12ez−12=0.Решение:
Из уравнения получаем, что
F(x,y,z)=x3+3y2+12ez−12.Вычислим частные производные
F′x(x,y,z)=3x2, F′y(x,y,z)=6y и F′z(x,y,z)=12ez.
Следовательно,
z′x=3x212ez=x24ez,z′y=6y12ez=y2ez.Вычислить производную от функции заданной неявно
13y+2z−12=0.Решение:
Из уравнения получаем, что
F(x,y,z)=13y+2z−12.Вычислим частные производные
F′x(x,y,z)=0, F′y(x,y,z)=13 и F′z(x,y,z)=2zln2.
Следовательно,
z′x=02zln2=0,z′y=132zln2=12ln22z.Рассмотрим функцию двух переменных, заданную неявно уравнением
Для функции произвольного числа переменных находим частные производные ∂z∂x, ∂z∂y, ∂z∂z,... , причем при нахождении ∂z∂x считаем y, z,..., постоянными при нахождении ∂z∂y - x, z,... постоянным и т.д.
Формулы для определения частных производных имеют вид:
t′x=−∂F∂x∂F∂t, t′y=−∂F∂y∂F∂t, t′z=−∂F∂z∂F∂t, ...
При определении частных производных считается, что ∂F∂t≠0.
Вычислить производную от функции заданной неявно
3x3+3y2+12ez−lnt−2=0.Решение:
Из уравнения получаем, что
F(x,y,z,t)=3x3+3y2+12ez−lnt−2.Вычислим частные производные
F′x(x,y,z,t)=9x2, F′y(x,y,z,t)=6y, F′z(x,y,z,t)=12ez и F′t(x,y,z,t)=−1t.
Следовательно,
z′x=9x2−1t=−9x2t,z′y=6y−1t=−6yt,z′z=12ez−1t=−12ezt.Вычислить производную от функции заданной неявно
x4−3y2+ez=et+ln3.Решение:
Из уравнения получаем, что
F(x,y,z,t)=x4−3y2+ez−et−ln3.Вычислим частные производные
F′x(x,y,z,t)=4x3, F′y(x,y,z,t)=−6y, F′z(x,y,z,t)=ez и F′t(x,y,z,t)=−et.
Следовательно,
z′x=4x3−et=−4x3et,z′y=−6y−et=6yet,z′z=ez−et=−ezet=−ez−t.
