Параллелограмм и трапеция

Предварительные сведения

Для начала разберемся с таким понятием, как четырехугольник.

Четырехугольник имеет $4$ стороны, $4$ вершины и $4$ угла. Стороны, не имеющие общих вершин, называют противоположными сторона четырехугольника, в противном случае они называются смежными. Углы, не имеющие общих сторон, также называют смежными.

Рассмотрим далее подробно параллелограмм и трапецию.

Параллелограмм

Параллелограмм имеет два основных свойства. Введем и докажем их.

Свойство 1: Противоположные стороны и углы параллелограмма равны, соответственно, между собой.

Доказательство.

Пусть нам дан параллелограмм $ABCD$. Проведем в нем диагональ $AC$ (рис. 2).

Рисунок 2.

Рассмотрим параллельные прямые $AB$ и $CD$ и их секущую $AC$. Тогда

как накрест лежащие углы.

Рассмотрим параллельные прямые $AD$ и $CB$ и их секущую $AC$. Тогда

как накрест лежащие углы.

Следовательно, $\angle A=\angle C$.

По $II$ признаку равенства треугольников,

так как $AC$ -- их общая сторона. Значит

Свойство доказано.

Свойство 2: Диагонали, проведенные в параллелограмме, делятся пополам их точкой пересечения.

Доказательство.

Пусть нам дан параллелограмм $ABCD$. Проведем в нем диагонали $AC$ и $BD$. Пусть они пересекаются в точке $O$ (рис. 3).

Рисунок 3.

Рассмотрим параллельные прямые $AB$ и $CD$ и их секущие $AC$ и $BD$. Тогда

как накрест лежащие углы.\textit{}

Так как, по свойству $1$, $AB=CD$, то, по II признаку равенства треугольников,

Следовательно,

Свойство доказано.

Трапеция

При этом параллельные стороны называют основаниями трапеции, а две другие -- боковыми сторонами трапеции.

Выделяют следующие виды трапеций.

$Определение$ Если у трапеции не параллельные (боковые) стороны равны между собой, то её называют равнобедренной. $/Определение$

Трапеция обладает следующим свойством.

Пример задачи