В математике совокупности объектов, объединяющие ряд объектов называют множество. Данное понятие является первичным, значит, к более простым понятиям оно не сводится.
Термин множество употребляется тогда, когда речь идет о нечисловых множествах. Например, говорят о множестве диагоналей многоугольника, о множестве точек на координатной прямой, о множестве прямых, проходящих через точку.
Предметы или объекты, образующие данное множество, называются его элементами. Например, число $6$ будет являться элементом множества натуральных чисел, а число $0,9$ не будет являться элементом множества натуральных чисел.
Виды множеств
Множества могут быть конечными и бесконечными, пустыми.
Конечным называют множество, состоящее из конечного числа элементов, но при этом конечное множество может иметь любое количество элементов.
Среди конечных множеств выделяют множество, не имеющее ни одного элемента. Такое множество называется пустым множеством.
Множество, не являющееся конечным, называют бесконечным множеством.
Подмножества
Если некоторое множество не является пустым, то из него можно выделить другие множества, которые будут являться его частями.
Например, из множества натуральных чисел можно выделить множество четных.
В математике часть множества называют - подмножество. Говорят, что множество является подмножеством другого, если каждый элемент подмножества является одновременно и элементом большего множества.
Обозначение множеств, подмножеств и их элементов
Чаще всего множества обозначаются латинскими буквами- $A, B, C , D, X, Y, Z, W$ и Т.Д.
Элементы множеств обозначаются строчными буквами $a,b,c,d,x,y,z$ и Т.Д.
Записать принадлежность некоторого элемента к некоторому множеству, например то, что некоторой элемент $a$ будет входить в множество $A$ математически можно так: $a\in A$.Прочитать данную запись можно так: a принадлежит множеству $A$.
Если же некоторый элемент, например, $b$ не принадлежит множеству $B$, то это записывается так: $b\notin B$.Читают эту запись так: $b$ не принадлежит множеству $B$
Например, если обозначить множество целых чисел за $A$, что тогда можно записать: $3\in A$, $7,5\notin B$
Пустое множество в математике обозначают так: $ᴓ$
Для обозначения того, что множество $B$ является подмножеством множества $A$, используют обозначение: Знак $\subset $ обозначает включение одного множества в другое множество.
Определить какие элементы из перечисленных $12,38,54,79,934$ будут входить в множество $A$- чисел кратных $3$.
Решение: По условию множество $A$ содержит в себе элементы, каждый из которых должен быть кратным, т.е. делится без остатка на $3.$ Значит для того чтобы определить будут ли заданные числа являться элементами множества $A$ нам надо проверить какие из них будут делится на $3$ без остатка, какие нет.
Вспомним признак делимости на $3$: Если сумма цифр, входящих в состав числа делится на $3$, то число делится на $3$ без остатка.
$12$ делится на $3$, т.к. сумма цифр числа $12$ равна $3$
число $38$ на $3$ без остатка делится не будет, т.к. сумма цифр $3+8=11$ не делится на $3$ без остатка
аналогично т.к. суммы цифр числа $54$ равна $9$ доказываем, что на $3$ оно делится, в число $74$ на $3$ делится не будет, т.к. сумма цифр равна $11.$
Найдем сумму цифр числа $934: 9+3+4=16$, число $16$ не кратно $3$ ,значит и число $934$ на $3$ без остатка делится не будет
Теперь сделаем вывод, какие числа будут являться элементами множества $A$:
\[38\notin А, 74\notin А,934\notin А ; 12\in A,\ {\rm :\ }54\in A.\]Способы задания множеств
Существует два глобально различных способа задания множеств.
Первый заключается в том, что множество задается указанием всех его элементов. В таком случае говорят, что множество задано перечислением всех своих элементов или списком своих элементов. Перечислением элементов можно задать только конечные множества и при небольшом количестве элементов, входящих в него
Конечные множества с небольшим количеством элементов обычно записывают в фигурных скобках $\left\{a,b,c\right\}$
При таком способе задания множеств говорят, что множество задано перечислением его элементов.
Второй способ задания множеств применим как для конечных. так и для бесконечных множеств. Он заключается в том, что указывается свойство, которым обладает каждый элемент данного множества - множество задают описанием, т.е. указав его характеристическое свойство, т. е свойство, которым обладают все элементы этого множества и не обладают никакие другие объекты.
Например, с помощью описания можно задать такие множество натуральных чисел от $1$ до $9$ включительно. Характеристическим свойством, т. е. свойством, которым обладают все элементы этого множества для данных элементов будет являться то, что все они являются натуральными числами и каждое из них не меньше $1$ и не больше $9$. Перечислением указанное множество можно задать следующим образом:
$A=\left\{1\ ,2\ ,3,4,5,6,7,8,9\right\}$
Равенство множеств
Множества равны в том случае, если равны их элементы. При этом если множества состоят из одних и тех же элементов, но записанных в разном порядке то эти множества различны, хотя и равны.
Например, рассмотрим множества
$A=\left\{1\ ,2\ ,3,4,5,6,7,8,9\right\}$
$B=\left\{9,8,7,6,5,4,3,2,1\right\}$
Эти множества будут, состоят из равных элементов, значит, они будут равны, но при этом элементы расположены в разном порядке, т.е. множества различны
Пересечение множеств
Если даны два множества, то можно образовать новое множество, составленное из общих элементов этих множеств.
Например, рассмотрим два множества:
$A=\left\{1\ ,2,3,4,5\right\}$
$B=\left\{9,7,5,3,\right\}$
Общей частью этих множеств будет множество $C=\left\{3,5,\right\}$
Математически это можно обозначить так: $А\cap B=\left\{3,5\right\}$
Пересечением множеств $A$ и $B$ называется новое множество, содержащее те и только те элементы, которые входят одновременно и в множество $A$ и в множество $B$.
Объединение множеств
Из двух множеств $A$ и $B$ можно образовать новое множество, объединяя все элементы множества $A$ и все элементы множества $B$
Математически это можно обозначить так:$\ А\ \cup B$
Объединением множеств $A$ и $B$ называется новое множество$\ А\ \cup B$, состоящее из тех и только из тех элементов, которые входят хотя бы в одно из множеств $A$ или $B$.
Разность множеств
Разностью двух множеств $A$ и $B$ называют такое множество, в которое входят все элементы из множества $A$, не принадлежащие множеству $B$.
