В жизни мы часто встречаемся с необходимостью разделить что-либо на несколько равных частей. Например, необходимо разделить $20$ яблок (не разрезая) на $4$ человека поровну, чтобы яблок не осталось, или $15$ конфет на $5$ человек в равном количестве без остатка и т.д. Решение подобных задач основывается на делимости чисел. Действительно, можно поровну без остатка и не разрезая разделить $20$ яблок между $5$ людьми, но нельзя таким образом их разделить между $6$- либо часть яблок останется, либо яблоки придется резать. В таком случае говорят, что число $5$ является делителем числа $20$, а число $6$- не является
Делителем натурального числа, а называют натуральное число, на которое исходное число, а делится без остатка.
Статья: Делимость чисел
Найти делители числа $6$
Решение: Нам надо найти все числа, на которые заданное число 6 делится без остатка. Это будут числа: $1,2,3,6$. Значит делителем числа $6$ будут числа $1,2,3,6$.
Ответ: $1,2,3,6$
Значит, для того, чтобы найти делители числа, надо найти все натуральные числа, на которые данное делится без остатка. Нетрудно заметить, что число $1$ будет являться делителем любого натурального числа.
На сколько равных кучек можно разделить $15$ орехов?
Решение. Нам необходимо разделить поровну нацело $15$ орехов, т.е. найти делители числа $15$. Найдем числа, на которые число $15$ делится без остатка
Это числа:$1,3,5,15$. Значит $15$ орехов можно разделить на $1,3,5,15$ равных кучек.
$Ответ$: на $1,3,5,15$ кучек
Простые и составные числа
Простыми числами называют числа, у которых только $2$ делителя: $1$ и оно само.
Составным называют число, у которого кроме единицы и самого себя есть другие делители.
Примером простого числа может являться число $13$, примером составного число $14$.
Число $1$ имеет только один делитель-само это число, поэтому его не относят ни к простым, ни к составным.
Свойство составных и простых чисел
Любое составное число можно разложить на $2$ множителя каждый из которых больше единицы. Простое число так представить нельзя.
Действительно, простое число $17$ можно представить в виде произведения множителей только так: $17=1\cdot 17$, а составное число $18=1\cdot 2\cdot 9$. У составного числа $18$ три множителя, два из которых больше единицы.
Всякое составное число можно разложить на простые множители и представить в виде произведения множителей, которые являются простыми числами.
Наибольший общий делитель
Найдем делители чисел $12$ и $18$
Решение:
$12:1,2,3,4,6,12$
$18:1,2,3,6,9,18$
Вывод: Мы видим, что у этих чисел некоторые делители $(1,2,3,6)$ одинаковые, некоторые- различны. Одинаковые делители называют общими делителями этих чисел.
Наибольшим общим делителем называют наибольший делитель двух и более чисел. У этих чисел наибольший общий делитель равен $6.$
Наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка числа $a$ и $b$, называют наибольшим общим делителем этих чисел.
Найдем делители чисел $24$ и $35$
Решение:
$24:1,2,3,4,6,12,24$
$35:1,5,7,35$
Вывод: У этих чисел наибольший общий делитель равен $1$.
Числа, у которых наибольший общий делитель равен $1$ называются взаимно простыми.
Алгоритм нахождения наибольшего общего делителя
Чтобы найти наибольший общий делитель двух чисел необходимо:
-
Разложить числа на простые множители
-
Выбрать числа, которые входят в разложение этих чисел
-
Найти произведение чисел, найденных на шаге $2$. Полученное число и будет искомым наибольшим общим делителем.
Найти НОД чисел $121$ и $132$
Решение: Будем находить согласно представленному алгоритму. Для этого
-
разложить числа на простые множители
$242=2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
-
Выбрать числа, которые входят в разложение этих чисел
$242=2\cdot 1\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
-
Найти произведение чисел, найденных на шаге $2$. Полученное число и будет искомым наибольшим общим делителем.
НОД=$2\cdot 11=22$
Найти НОД чисел $63$ и $81$
Решение: Найдём НОД чисел $63$ и $81$
-
разложим числа на простые множители
$63=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
-
Выбираем числа, которые входят в разложение этих чисел
$63=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
-
Найдем произведение чисел, найденных на шаге $2$. Полученное число и будет искомым наибольшим общим делителем.
НОД=$3\cdot 3=9$
Для того чтобы проще было искать делители чисел, часто пользуются признаками делимости. Вспомним ряд из них.
Признак делимости на 5
Если последняя цифра в записи числа $5$ или $0$, то число делится на $5$ без остатка
Например, $5,130,1567890$ и т.д.
Признак делимости на 10
Если последняя цифра в записи $0$, то число делится на $10$ без остатка
Например, $500,1390,154320$ и т.д.
Признак делимости на 3
Если сумма цифр, входящих в состав числа делится на $3$, то число делится на $3$ без остатка
Например, $510,1380,154320$ и т.д.
Признак делимости на 9
Если сумма цифр, входящих в состав числа делится на $9$, то число делится на $9$ без остатка
Например, $5130,13860,1543230$ и т.д.
