Делимость чисел

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

В жизни мы часто встречаемся с необходимостью разделить что-либо на несколько равных частей. Например, необходимо разделить $20$ яблок (не разрезая) на $4$ человека поровну, чтобы яблок не осталось, или $15$ конфет на $5$ человек в равном количестве без остатка и т.д. Решение подобных задач основывается на делимости чисел. Действительно, можно поровну без остатка и не разрезая разделить $20$ яблок между $5$ людьми, но нельзя таким образом их разделить между $6$ - либо часть яблок останется, либо яблоки придется резать. В таком случае говорят, что число $5$ является делителем числа $20$ , а число $6$ - не является

Определение 1

Делителем натурального числа, а называют натуральное число, на которое исходное число, а делится без остатка.

Пример 1

Найти делители числа $6$

Решение: Нам надо найти все числа, на которые заданное число 6 делится без остатка. Это будут числа: $1,2,3,6$ . Значит делителем числа $6$ будут числа $1,2,3,6$ .

Ответ: $1,2,3,6$

Значит, для того, чтобы найти делители числа, надо найти все натуральные числа, на которые данное делится без остатка. Нетрудно заметить, что число $1$ будет являться делителем любого натурального числа.

Пример 2

На сколько равных кучек можно разделить $15$ орехов?

Решение. Нам необходимо разделить поровну нацело $15$ орехов, т.е. найти делители числа $15$ . Найдем числа, на которые число $15$ делится без остатка

Это числа: $1,3,5,15$ . Значит $15$ орехов можно разделить на $1,3,5,15$ равных кучек.

$Ответ$ : на $1,3,5,15$ кучек

Простые и составные числа

Определение 2

Простыми числами называют числа, у которых только $2$ делителя: $1$ и оно само.

«Делимость чисел» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов

Найти

Определение 3

Составным называют число, у которого кроме единицы и самого себя есть другие делители.

Пример 3

Примером простого числа может являться число $13$ , примером составного число $14$ .

Замечание 1

Число $1$ имеет только один делитель-само это число, поэтому его не относят ни к простым, ни к составным.

Свойство составных и простых чисел

Любое составное число можно разложить на $2$ множителя каждый из которых больше единицы. Простое число так представить нельзя.

Действительно, простое число $17$ можно представить в виде произведения множителей только так: $17=1\cdot 17$ , а составное число $18=1\cdot 2\cdot 9$ . У составного числа $18$ три множителя, два из которых больше единицы.

Всякое составное число можно разложить на простые множители и представить в виде произведения множителей, которые являются простыми числами.

Наибольший общий делитель

Пример 4

Найдем делители чисел $12$ и $18$

Решение:

$12:1,2,3,4,6,12$

$18:1,2,3,6,9,18$

Вывод: Мы видим, что у этих чисел некоторые делители $(1,2,3,6)$ одинаковые, некоторые- различны. Одинаковые делители называют общими делителями этих чисел.

Наибольшим общим делителем называют наибольший делитель двух и более чисел. У этих чисел наибольший общий делитель равен $6.$

Определение 4

Наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка числа $a$ и $b$ , называют наибольшим общим делителем этих чисел.

Пример 5

Найдем делители чисел $24$ и $35$

Решение:

$24:1,2,3,4,6,12,24$

$35:1,5,7,35$

Вывод: У этих чисел наибольший общий делитель равен $1$ .

Определение 5

Числа, у которых наибольший общий делитель равен $1$ называются взаимно простыми.

Алгоритм нахождения наибольшего общего делителя

Чтобы найти наибольший общий делитель двух чисел необходимо:

Разложить числа на простые множители
Выбрать числа, которые входят в разложение этих чисел
Найти произведение чисел, найденных на шаге $2$ . Полученное число и будет искомым наибольшим общим делителем.

Пример 6

Найти НОД чисел $121$ и $132$

Решение: Будем находить согласно представленному алгоритму. Для этого

разложить числа на простые множители

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
Выбрать числа, которые входят в разложение этих чисел

$242=2\cdot 1\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
Найти произведение чисел, найденных на шаге $2$ . Полученное число и будет искомым наибольшим общим делителем.

НОД= $2\cdot 11=22$

Пример 7

Найти НОД чисел $63$ и $81$

Решение: Найдём НОД чисел $63$ и $81$

разложим числа на простые множители

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
Выбираем числа, которые входят в разложение этих чисел

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
Найдем произведение чисел, найденных на шаге $2$ . Полученное число и будет искомым наибольшим общим делителем.

НОД= $3\cdot 3=9$