Правило параллелепипеда. Разложение вектора

Произвольный вектор $\overrightarrow{p}$ можно разложить по трем некомпланарным векторам $\overrightarrow{a_1},\ \overrightarrow{a_2}$ и $\overrightarrow{a_3}$ с единственными коэффициентами разложения.

Математически это можно записать следующим образом

$$\overrightarrow{p}={\alpha }_1\overrightarrow{a_1}+{\alpha }_2\overrightarrow{a_2}+{\alpha }_3\overrightarrow{a_3}$$

Доказательство.

Существование: Пусть нам даны три некомпланарных вектора $\overrightarrow{a_1},\ \overrightarrow{a_2}$ и $\overrightarrow{a_3}$. Выберем произвольную точку $O$ и построим следующие векторы:

$$\overrightarrow{a_1}=\overrightarrow{OA},\ \overrightarrow{a_2}=\overrightarrow{OB},\ \overrightarrow{a_3}=\overrightarrow{OC}\ и\ \overrightarrow{p}=\overrightarrow{OP}$$

Рассмотрим следующий рисунок:

Рисунок 2.

Произведем следующие дополнительные построения. Проведем через точку $P$ прямую, которая будет параллельна вектору $\overrightarrow{OC}$. Пусть эта прямая пересекает плоскость $OAB$ в точке $P_1$. Далее, проведем через точку $P_1$ прямую, которая будет параллельна вектору $\overrightarrow{OB}$. Пусть эта прямая пересекает прямую $OA$ в точке $P_2$ (смотри рисунок выше).

Воспользуемся свойством правила треугольника сложения двух векторов $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$, получим:

$$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{p}=\overrightarrow{OP_2}+\overrightarrow{P_2P_1}+\overrightarrow{P_1P}$$

Так как векторы $\overrightarrow{OP_2}$ и $\overrightarrow{OA}$ коллинеарны, то

$$\overrightarrow{OP_2}={\alpha }_1\overrightarrow{OA}={\alpha }_1\overrightarrow{a_1}$$

Так как векторы $\overrightarrow{P_2P_1}$ и $\overrightarrow{OB}$ коллинеарны, то

$$\overrightarrow{P_2P_1}={\alpha }_2\overrightarrow{OB}={\alpha }_2\overrightarrow{a_2}$$

Так как векторы $\overrightarrow{P_1P}$ и $\overrightarrow{OC}$ коллинеарны, то

$$\overrightarrow{P_1P}={\alpha }_3\overrightarrow{OC}={\alpha }_3\overrightarrow{a_3}$$

Тогда, получаем, что

$$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{OP_2}+\overrightarrow{P_2P_1}+\overrightarrow{P_1P}={\alpha }_1\overrightarrow{a_1}+{\alpha }_2\overrightarrow{a_2}+{\alpha }_3\overrightarrow{a_3}$$

Существование разложения доказано.

Единственность: Предположим противное. Пусть существует еще одно разложение вектора $\overrightarrow{p}$ по векторам $\overrightarrow{a_1},\ \overrightarrow{a_2}$ и $\overrightarrow{a_3}$:

$$\overrightarrow{p}={\alpha '}_1\overrightarrow{a_1}+{\alpha '}_2\overrightarrow{a_2}+{\alpha '}_3\overrightarrow{a_3}$$

Вычтем эти разложения друг из друга

$$\overrightarrow{p}-\overrightarrow{p}={\alpha }_1\overrightarrow{a_1}+{\alpha }_2\overrightarrow{a_2}+{\alpha }_3\overrightarrow{a_3}-{\alpha '}_1\overrightarrow{a_1}-{\alpha '}_2\overrightarrow{a_2}-{\alpha '}_3\overrightarrow{a_3}$$ $$\overrightarrow{0}=\left({\alpha }_1-{{\alpha }'}_1\right)\overrightarrow{a_1}+\left({\alpha }_2-{{\alpha }'}_2\right)\overrightarrow{a_2}+({\alpha }_3-{{\alpha }'}_3)\overrightarrow{a_3}$$

Из этого получаем

$$\left\{ \begin{array}{c} {{\alpha }_1-{{\alpha }'}_1=0,} \\ {{\alpha }_2-{{\alpha }'}_2=0} \\ {{\alpha }_3-{{\alpha }'}_3=0.} \end{array} \right.$$

Следовательно

$$\left\{ \begin{array}{c} {{\alpha }_1={{\alpha }'}_1,} \\ {{\alpha }_2={{\alpha }'}_2,} \\ {{\alpha }_3={{\alpha }'}_3.} \end{array} \right.$$

Теорема доказана.