Множество помогает понять, что такое «число».
Не все понятия в математике вводятся с помощью определений. Некоторые из них считаются основными, первичными и поэтому относятся к неопределяемым. Смысл таких понятий можно только объяснить с помощью примеров и описанием свойств. Общеизвестным из них является «точка». К таким же понятиям относится «множество».
Начальное представление о множестве можно получить, если рассмотреть совокупность произвольных объектов. Объекты в составе совокупности могут быть либо абстрактными (слова, числа, экзаменационные оценки), либо реальными (дома в городе, домашние вещи, товары в магазине, учащиеся в группе).
Первое отличие множества от совокупности. Объекты множества обязательно должны отличаться между собой. В то же время от объектов совокупности этого не требуется. Можно утверждать, что любое множество представляет собой совокупность, но не всякая совокупность может считаться множеством. Например, совокупность оценок, полученных группой студентов во время экзамена, состоит из многих «пятёрок», «четвёрок», «троек» и «двоек». Но ко множеству оценок принадлежат только четыре названных.
Второе отличие множества от совокупности. Объекты множества отличаются не только между собой, но и от объектов, которые в состав множества не входят. Например, все экзаменационные оценки, независимо от того, какими группами студентов они получены, принадлежат одному и тому же множеству. В то же время, оценки, полученные в разных группах, относятся к разным совокупностям.
Объекты множества принято называть его элементами. Сами множества обозначают большими буквами, а элементы множеств - малыми. Если некоторый объект $x$ является элементом множества $M$, то это записывают в виде $x\in M$ ($x$ принадлежит $M$). Противоположная ситуация обозначается как $x\notin M$ ($x$ не принадлежит $M$). Например, если $M$ - множество оценок, то $3\in M$, а $13\notin M$.
Множества могут быть конечными (например, множество экзаменационных оценок) и бесконечными (например, множество треугольников, вписанных в данную окружность). В частности, может существовать пустое множество, не содержащее элементов. Пустое множество обозначают $\emptyset $.
Простейший способ задать множество - перечислить все его элементы. Например, множество экзаменационных оценок можно задать с помощью перечня $M=\left\{2,\; 3,\; 4,\; 5\right\}$. Отметим, что порядок перечисления элементов множества значения не имеет.
Существуют следующие варианты сравнения множеств:
- Множества $A$ и $B$ считаются совпадающими, если любой элемент множества $A$ принадлежит множеству $B$, и наоборот, любой элемент множества $B$ принадлежит множеству $A$. Если множества $A$ и $B$ совпадают, то пишут $A=B$. В противном случае пишут $A\ne B$.
- Если любой элемент множества $A$ принадлежит множеству $B$, то множество $A$ называют подмножеством множества $B$ и записывают в виде $A\subset B$. В частности, если $A=B$, то $A\subset B$ и $B\subset A$.
- Если хотя бы один элемент множества $A$ не принадлежит множеству $B$, то это записывают в виде $A\not\subset B$ (множество $A$ не является подмножеством множества $B$).
- Пустое множество является подмножеством любого множества $M$, то есть $\emptyset \subset M$. Кроме того, любое множество $M$ является подмножеством самого себя, то есть $M\subset M$.
Число
Число - основное математическое понятие, используемое для количественной оценки, сравнения и нумерации объектов. На письме числа обозначают с помощью цифр и знаков математических операций.
В математике используют множества, элементами которых являются числа. К стандартным числовым множествам относятся:
- множество натуральних чисел $N=\left\{1,\; 2,\; 3,\; ...\right\}$;
- множество целых чисел $Z=\left\{...,\; -3,\; -2,\; -1,\; 0,\; 1,\; 2,\; 3,\; ...\right\}$;
- множество рациональных чисел $Q=\left\{\frac{p}{q} \right\}$, где $p\in Z$, $q\in N$ ($p$ и $q$ принадлежат множествам целых и натуральных чисел соответственно);
- множество действительных чисел $R$;
- множество комплексных чисел $C$.
Основное свойство рациональных чисел состоит в том, что их всегда можно представить в виде десятичных дробей (конечных или бесконечных периодических).
Математически доказано, что рациональные числа не обеспечивают потребностей измерения величин. Например, диагональ квадрата со сторонами, равными единице, не может быть выражена рациональним числом. Именно поэтому были введены иррациональные числа.
Иррациональные числа записывают в виде бесконечных, но непериодических десятичных дробей.
$\pi =3,141592...$; $\sqrt{2} =1,414213...$.
Все рациональные и иррациональные числа образует множество действительных чисел $R$.
Для удобства считают, что к множеству действительных чисел $R$ принадлежат также элементы, которые обозначают $-\infty $ (минус бесконечность) и $+\infty $ (плюс бесконечность). По определению, для любого другого элемента $x\in R$ выполняются неравенства $-\infty Первоначальное представление о комплексном числе можно получить, решая уравнение $x^{2} +1=0$. Далее получаем $x^{2} =-1$, откуда $x=\sqrt{-1} $. Математик Леонард Эйлер первым использовал обозначение $\sqrt{-1} =i$, а также $i^{2} =-1$. Он же назвал число $i$ мнимой единицей.
Комплексным числом называется число, имеющее вид $z=a+i\cdot b$, в котором $a$ и $b$ - действительные числа, а $i$ - мнимая единица.
Особенностью числовых множеств является то, что каждому следующему числовому множеству принадлежат также и элементы предыдущего, то есть $N\subset Z\subset Q\subset R\subset C$.
Если $x\in N$, то $x\in Z$.
Переменная
Общеизвестно, что при изучении явлений природы и при решении технических задач постоянно возникает необходимость рассматривать изменения числовых значених тех или иных величин. Более того, в математике могут изучаться изменения числовых значений неких абстрактных величин, не относящихся непосредственно к реальному миру.
В связи с этим возникла необходимость в использовании понятия «переменная величина».
В общем случае под переменной понимают каждый элемент некоторого числового множества. При этом некоторый фиксированный элемент этого множества называют значением переменной. Само же множество в этом случае называют областью значений переменной.
Чаще всего переменные обозначают буквами латинского или греческого алфавита.
Функция
В научных исследованиях, при решении практических задач всегда рассматривают изменения одних величин в зависимости от изменений других. Например, в электрической цепи величина тока меняется в зависимости от величины сопротивления, объем шара меняется в зависимости от его радиуса и т.д.
При этом в различных физических явлениях те или иные величины могут вести себя по-разному. Например, пр равномерном движении пройденное расстояние меняется в зависимости от времени, а скорость остается постоянной. А вот при равноускоренном движении в зависимости от времени меняется не только расстояние, но и скорость.
Взаимосвязь изменяемых величин в математике описывают с помощью функций.
Формальное определение выглядит следующим образом. Пусть существует некоторый закон $f$, по которому каждому числовому значению переменной $x$ ставится в соответствие единственное определенное числовое значение другой переменной $y$. Такой закон называется функцией от $x$ и символически записывается в виде $y=f\left(x\right)$.
При этом переменную $x$ называют независимой переменной или аргументом, переменную $y$ - зависимой переменной или функцией.
Таким образом, буква $f$ в записи $y=f\left(x\right)$ обозначает правило или совокупность действий, которые нужно произвести над значением аргумента $x$, чтобы получить значение функции $y$. Вместо буквы $f$ можно использовать и любые другие, например, $y=F\left(x\right)$, $y=\$ \left(x\right)$ и т.д. Достаточно часто пишут и так: $y=y\left(x\right)$.
Предположим, что существует совокупность значений аргумента $x$, для которой, используя правило $f$, можно определить соответствующую совокупность значений функции $y$. Такую совокупность значений аргумента $x$ называют областью определения функции $y=f\left(x\right)$, а совокупность значений $y$ называют областью значений функции $y=f\left(x\right)$.
Таким образом, чтобы задать функцию, необходимо задать для неё правило вычисления $f$, а также указать область её определения.
Областью определения логарифмической функции $y=\log _{a} x$ является промежуток $0
Согласно определению функции, каждому числовому значению переменной $x$ должно ставиться в соответствие единственное числовое значение другой переменной $y$. Чтобы подчеркнуть эту особенность, такую функцию называют однозначной. Но существуют также функции, в которых одному значению аргумента соответствуют два и более значений функции. Такие функции называются многозначными.
