Степень с рациональным показателем
В множество рациональных чисел входят целые и дробные числа.
Степень числа $а$ с целым показателем $n$ является результатом умножения числа $а$ самого на себя $n$ раз, причем: $a^n=a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a$, при $n>0$; $a^n=\frac{1}{a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}$, при $n
Степень числа $а$ с показателем в виде дроби $\frac{m}{n}$ называется корнем $n$-ной степени из $a$ в степени $m$: $a^\frac{m}{n}=\sqrt[n]{a^m}$, где $а>0$, $n$ – натуральное число, $m$ – целое число.
Степень нуля с показателем в виде дроби $\frac{m}{n}$ определяется следующим образом: $0^\frac{m}{n}=\sqrt[n]{0^m}=0$, где $m$ – целое число, $m>0$, $n$ – натуральное число.
Существует и другой подход к определению степени числа с дробный показателем, который показывает возможность существования степени отрицательного числа или отрицательного дробного показателя.
Например, выражения $\sqrt[7]{(-3)^6}$, $\sqrt[7]{(-3)^3}$ или $\sqrt[6]{(-7)^{-10}}$ имеют смысл, таким образом, и выражения $(-3)^\frac{6}{7}$, $(-3)^\frac{3}{7}$ и $(-7)^\frac{-10}{6}$ должны иметь смысл, в то время, как согласно определению степени с показателем в виде дроби при отрицательном основании не существуют.
Дадим другое определение:
Степенью числа $a$ с дробным показателем $\frac{m}{n}$ называется $\sqrt[n]{a^m}$ в следующих случаях:
-
При любом действительном числе $a$, целом $m>0$ и нечетном натуральном $n$.
Например, $13,4^\frac{7}{3}=\sqrt[3]{13,4^7}$, $(-11)^\frac{8}{5}=\sqrt[5]{(-11)^8}$.
-
При любом отличном от нуля действительном числе $a$, целом отрицательном $m$ и нечетном $n$.
Например, $13,4^\frac{-7}{3}=\sqrt[3]{13,4^{-7}}$, $(-11)^\frac{-8}{5}=\sqrt[5]{(-11)^{-8}}$.
-
При любом неотрицательном числе $a$, целом положительном $m$ и четном $n$.
Например, $13,4^\frac{7}{4}=\sqrt[4]{13,4^7}$, $11^\frac{3}{16}=\sqrt[16]{11^3}$.
-
При любом положительном $a$, целом отрицательном $m$ и четном $n$.
Например, $13,4^\frac{-7}{4}=\sqrt[4]{13,4^{-7}}$, $11^\frac{-3}{8}=\sqrt[8]{11^{-3}}$.
-
При других условиях степень с дробным показателем определить невозможно.
Например, $(-13,4)^\frac{10}{3}=\sqrt[3]{(-13,4)^{10}}$, $(-11)^\frac{5}{4}=\sqrt[4]{(-11)^5}$.
К тому же, при применении данного определения является важным, чтобы дробный показатель $\frac{m}{n}$ был несократимой дробью.
Серьезность данного замечания в том, что степенью отрицательного числа с дробным сократимым показателем, например, $\frac{10}{14}$ будет положительное число, а степенью того же числа с уже сокращенным показателем $\frac{5}{7}$ будет отрицательное число.
Например, $(-1)^\frac{10}{14}=\sqrt[14]{(-1)^{10}}=\sqrt[14]{1^{10}}=1$, а $(-1)^\frac{5}{7}=\sqrt[7]{(-1)^5}=-1$.
Таким образом, при выполнении сокращения дроби $\frac{10}{14}=\frac{5}{7}$ не выполняется равенство $(-1)^\frac{10}{14}=(-1)^\frac{5}{7}$.
Нужно отметить, что чаще применяется более удобное и простое первое определение степени с показателем в виде дроби.
В случае записи дробного показателя степени в виде смешанной дроби или десятичной, необходимо показатель степени преобразовать к виду обыкновенной дроби.
Например, $(2 \frac{3}{7})^{1 \frac{2}{7}}=(2 \frac{3}{7})^\frac{9}{7}=\sqrt[7]{(2 \frac{3}{7})^9}$, $7^{3,6}=7^\frac{36}{10}=\sqrt[10]{7^{36}}$.
Степень с иррациональным и действительным показателем
К действительным числам относятся рациональные и иррациональные числа.
Разберем понятие степени с иррациональным показателем, т.к. степень с рациональным показателем мы рассмотрели.
Рассмотрим последовательность приближений к числу $\alpha$, которые являются рациональными числами. Т.е. имеем последовательность рациональных чисел $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\alpha_3$, $\ldots$, которые определяют число $\alpha$ с любой степенью точности. Если вычислить степени с этими показателями $a^{\alpha_1}$, $a^{\alpha_2}$, $a^{\alpha_3}$, $\ldots$, то окажется, что эти числа являются приближениями к некоторому числу $b$.
Степенью числа $a>0$ с иррациональным показателем $\alpha$ называется выражение $a^\alpha$, которое имеет значение, равное пределу последовательности $a^{\alpha_1}$, $a^{\alpha_2}$, $a^{\alpha_3}$, $\ldots$, где $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\alpha_3$, … – последовательные десятичные приближения иррационального числа $\alpha$.
Степень нуля определяется для положительного иррационального показателя, при этом $0^α=0$.
Пример.
$0^е=0$,
$0^{\frac{\sqrt[5]{13}}{7}}=0$.
В то же время степень нуля для отрицательного иррационального показателя не определяется.
Пример.
$0^{-\sqrt[4]{3}}$, $0^{-\frac{3\pi}{2}}$ – не определяются.
Степень с иррациональным показателем единицы равна единице.
$1^{\frac{\sqrt[5]{13}}{7}}=1$,
$1^е=1$.
